Obliczenie prawdopodobieństwa ze średniej arytmetycznej

[markolcz]

Pobrano dwie niezależne próby losowe odpowiednio o liczebnościach 4 i 5 z dwóch populacji, w których zmienne losowe mają rozkład normalny, przy czym w pierwszej populacji zmienna losowa ma wartość oczekiwaną 68 i wariancję 16, natomiast w drugiej – wartość oczekiwaną 66 i wariancję 25.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) średnia arytmetyczna w pierwszej próbie jest większa co najmniej o 4 od średniej z próby drugiej;
b) średnie w tych próbach różnią się o więcej niż 2.

[janusz47]

Korzystamy z twierdzenia:

Statystyka \(\displaystyle{ \overline{X_{1}}- \overline{X_{2}}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N\left( m_{1}-m_{2},\ \ \sqrt{\frac{\sigma^2_{1}}{n_{1}}, \frac{\sigma^2_{2}}{n_{2}}}\right).}\)

Proszę znaleźć wartość średnią i odchylenie standardowe tego rozkładu normalnego, podstawiając dane, oraz obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń:

a)

\(\displaystyle{ P(\overline{X_{1}} - \overline{X_{2}}\geq 4)=...}\)

b)

\(\displaystyle{ P(\overline{X_{1}} - \overline{X_{2}} > 2)=...}\)

przeprowadzając standaryzację do rozkładu \(\displaystyle{ N(0, 1).}\)

[markolcz]

janusz47 mógłbym prosić o rozpisanie podpunktu a ?

[janusz47]

Po podstawieniu wartości średnich, wariancji i liczności prób otrzymujemy rozkład normalny
\(\displaystyle{ N( 2, 3).}\)

a)

\(\displaystyle{ P(\overline{X_{1}}- \overline{X_{2}} \geq 4) = P\left(\frac{\overline{X{1}}-\overline{X_{2}}-2}{3} \geq \frac{4 -2}{3}\right) = P\left (Z \geq \frac{2}{3}\right) = 1 - P\left(Z < \frac{2}{3}\right) = 1 - \phi\left(\frac{2}{3}\right) = 1 - 0,7475075 =0,2524925.}\)
( tablica standaryzowanego rozkładu normalnego)

lub na przykład

Program R

Kod: Zaznacz cały

> pnorm(2/3)
[1] 0.7475075
> 1- pnorm(2/3)
[1] 0.2524925

b) podobnie.