Warunek Lapunowa, CTG
-
Red John
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 9 lis 2014, o 22:10
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 1 raz
Warunek Lapunowa, CTG
\(\displaystyle{ X_1,X_2,...}\)- niezależne, \(\displaystyle{ X_k \sim N(0,2^{-k})}\). Mam problem z określeniem rzędu wielkości \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}E|X_k|^3}\).
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Warunek Lapunowa, CTG
Zacznijmy od policzenia \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X_k|^3}\). Ja nie pamiętam, ile to jest. Przyjmę, że drugi parametr to wariancja (gdyby to było odchylenie standardowe, to tylko trochę zmienią się rachunki - ale warto napisać, jak jest).
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X_k|^3= \int_{\RR}^{} \frac{1}{\sqrt{2\pi}2^{-\frac k 2}}|x|^3e^{- \frac{x^2}{2^{1-k}} }\,\dd x=2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}2^{-\frac k 2} }x^3e^{- \frac{x^2}{2^{1-k}} }\,\dd x=\\=\bigg|t= \frac{x^2}{2^{1-k}}; \quad \dd t=2^k x \,\dd x\bigg|= \frac{2^{2-2k}}{\sqrt{2\pi}2^{-\frac k 2}} \int_{0}^{+\infty}t\,\ e^{-t} \,\dd t= \frac{2^{2-2k}}{\sqrt{2\pi}2^{-\frac k 2}}}\),
gdyż
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}t e^{-t} \,\dd t}\) to jest pierwszy moment rozkładu wykładniczego \(\displaystyle{ \mathcal{E}xp(1)}\).
Zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}E|X_k|^3 \sim \sum_{k=1}^{n} 2^{-\frac 3 2 k}=2^{-\frac 3 2} \frac{2^{-\frac 3 2k}-1}{2^{-\frac 3 2}-1}}\), czyli generalnie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}E|X_k|^3 =c\left( 1-2^{-\frac 3 2 k}\right)}\)
dla pewnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ c}\) - o ile się nie machnąłem \(\displaystyle{ 1000}\) razy w rachunkach. Pewnie można to jakoś prościej oszacować, zamiast tak liczyć, ale nie jestem "ścisłowcem" i nie mam dobrych pomysłów.
\(\displaystyle{ \mathbf{E}|X_k|^3= \int_{\RR}^{} \frac{1}{\sqrt{2\pi}2^{-\frac k 2}}|x|^3e^{- \frac{x^2}{2^{1-k}} }\,\dd x=2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{ \sqrt{2\pi}2^{-\frac k 2} }x^3e^{- \frac{x^2}{2^{1-k}} }\,\dd x=\\=\bigg|t= \frac{x^2}{2^{1-k}}; \quad \dd t=2^k x \,\dd x\bigg|= \frac{2^{2-2k}}{\sqrt{2\pi}2^{-\frac k 2}} \int_{0}^{+\infty}t\,\ e^{-t} \,\dd t= \frac{2^{2-2k}}{\sqrt{2\pi}2^{-\frac k 2}}}\),
gdyż
\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty}t e^{-t} \,\dd t}\) to jest pierwszy moment rozkładu wykładniczego \(\displaystyle{ \mathcal{E}xp(1)}\).
Zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}E|X_k|^3 \sim \sum_{k=1}^{n} 2^{-\frac 3 2 k}=2^{-\frac 3 2} \frac{2^{-\frac 3 2k}-1}{2^{-\frac 3 2}-1}}\), czyli generalnie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}E|X_k|^3 =c\left( 1-2^{-\frac 3 2 k}\right)}\)
dla pewnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ c}\) - o ile się nie machnąłem \(\displaystyle{ 1000}\) razy w rachunkach. Pewnie można to jakoś prościej oszacować, zamiast tak liczyć, ale nie jestem "ścisłowcem" i nie mam dobrych pomysłów.