Znalezienie gęstości zmiennej losowej

[Qtt]

Dana jest zmienna losowa X o gęstości
\(\displaystyle{ f(x) \begin{cases} 2-2x \ \ \ dla \ 0 \le x \le 1\\ 0 \ \ \ dla\ pozostałych\ x \end{cases}}\)

W jaki sposób znaleźć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y = e^{X}}\)? Kompletnie nie wiem jak się za to zabrać.

[Premislav]

Są gotowe wzory, które podano np. u Jakubowskiego i Sztencla (Wstęp do teorii prawdopodobieństwa), w paragrafie Gęstość a odwzorowania gładkie bodajże (pewnie na wiki też są). Ja ich jednak nigdy nie pamiętam, więc polecam liczyć przez dystrybuanty.
Niech \(\displaystyle{ t \in \RR}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le t)=\mathbf{P}\left( e^X\le t\right)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t\le 0 \\\mathbf{P}(X \le \ln t) \text{ w przeciwnym razie }\end{cases}}\)

No a z kolei \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le \ln t)= \begin{cases} \int_{-\infty}^{\ln t}f(x) \,\dd x \text{ gdy } \ln t \le 1 \\ 1 \text{ w przeciwnym razie }\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\ln t} f(x)\,\dd x= \begin{cases}0 \text{ dla }t\in (0,1) \\ \int_{0}^{\ln t}(2-2x)\,\dd x=2\ln t-\ln^2 t \end{cases} \text{ dla }t\ge 1}\)
i ostatecznie dostajemy taką dystrybuantę \(\displaystyle{ Y=e^X}\):
\(\displaystyle{ F_Y(t)= \begin{cases}0 \text{ dla }t\le 1 \\ 2\ln t-\ln^2 t \text{ dla } t\in (1,e)\\ 1 \text{ dla }t\ge e \end{cases}}\)
Gęstość dostajemy, różniczkując dystrybuantę.

[Qtt]

Czyli liczymy coś takiego
\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ \infty } t F_{Y}(t)dt}\)
to rozbijamy na 3 przedziały, potem całkujemy i suma tego to będzie szukana gęstość? Czy dobrze rozumuję?

[Premislav]

Źle. Wyliczyłem \(\displaystyle{ F_Y(t)}\), czyli dystrybuantę rozkładu \(\displaystyle{ Y}\), teraz masz to zróżniczkować po \(\displaystyle{ t}\).