Zmienne losowe ciągłe - wartość oczekiwana i wariancja

[Qtt]

Mam zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o gęstości:
\(\displaystyle{ f(x) \begin{cases} Acosx, dla x \in ( -\frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2}) \\ 0, dla pozostałych x \end{cases}}\)
Mam obliczyć:
a)Paramter A
b)\(\displaystyle{ P( \frac{ \pi }{6} < X < \frac{ \pi }{4} )}\)
c)\(\displaystyle{ EX oraz D^{2}X}\)

Próbowałem liczyć podpunkt a, jednak nie za bardzo mi idzie. Robiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } Acosx \mbox{d}x = A \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } cosx \mbox{d}x = sinx\left}\) i tu dla \(\displaystyle{ -\frac{ \pi }{2} i \frac{ \pi }{2}}\) wychodzi coś takiego \(\displaystyle{ 1-1*A}\). Nie wydaje mi się, aby to było dobrze, więc proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

[Premislav]

\(\displaystyle{ A \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } \cos x \mbox{d}x = \sin x\left}\)

Ten napis to jakieś nieporozumienie. Nie wolno tak pisać.

Aby tamta funkcja podcałkowa była gęstością, musi być \(\displaystyle{ \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } A\ cos x \mbox{d}x=1}\) i funkcja podcałkowa musi być nieujemna.
\(\displaystyle{ \int_{- \frac{ \pi }{2} }^{ \frac{ \pi }{2} } A\ cos x \mbox{d}x=A\sin x\bigg|^{x=\frac \pi 2}_{x=-\frac \pi 2}=2A}\), czyli \(\displaystyle{ A=\frac 1 2}\)

Dalej nie powinno być problemu,
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{ \pi }{6} < X < \frac{ \pi }{4}\right )= \int_{\frac{ \pi }{6}}^{ \frac{ \pi }{4}} f(x)\,\dd x \\ \mathbf{E}X= \int_{-\infty}^{+\infty}x f(x)\,\dd x= \int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}\frac 1 2x\cos x \,\dd x\\
D^2X= \int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mathbf{E}X)^2 f(x)\,\dd x=\dots}\)

Widzę jednak, że nie za pewnie czujesz się w rachunku całkowym...