sprawdzić czy ciąg zmiennych tworzy łańcuch Markowa

[gienia]

\(\displaystyle{ X_0, X_1,...}\) ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie.
\(\displaystyle{ Z_n=\frac{1}{2}(X_n+X_{n+1})}\),
obliczyć \(\displaystyle{ p_{ij}(m,n)=P\{Z_n=j|Z_m=i\}}\).

Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ p_{ij}(m,n)=P(Z_n=j)}\), bo \(\displaystyle{ Z_n}\) jest niezależne od \(\displaystyle{ Z_m}\) (bo \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne), dobrze mi się wydaje?
Na zajęciach inaczej to robiliśmy i nie korzystaliśmy z tego, że \(\displaystyle{ p_{ij}(m,n)=P(Z_n=j)}\), dlatego zastanawiam się, czy to prawda.

[Premislav]

Wydaje mi się, że\(\displaystyle{ p_{ij}(m,n)=P(Z_n=j)}\), bo \(\displaystyle{ Z_n}\) jest niezależne od \(\displaystyle{ Z_m}\) (bo \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne), dobrze mi się wydaje?

Moim zdaniem źle Ci się wydaje. Owszem, z założenia \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne, ale z tego nie wynika, że dla \(\displaystyle{ m\neq n}\) zmienne losowe \(\displaystyle{ Z_m}\) i \(\displaystyle{ Z_n}\) są niezależne (co będzie dla \(\displaystyle{ m=n+1}\)?).

[gienia]

Dziękuję!