Strzelec strzela do tarczy z różną szansą na trafienie

[Sovey]

Strzelec strzela do tarczy 5 razy, 2 dowolne strzały oddaje z prawdopodobieństwem trafienia równym 40%, a trzy strzały z prawdopodobieństwem trafienia 30%. Jakie jest prawdopodobieństwo że trafi w tarczę co najmniej 2 razy?

Można przekształcić treść zadania że strzela dwóch strzelców, jeden trafia z prawdopodobieństwem 40% i oddał 2 strzały, a drugi z prawdopodobieństwem 30% i oddał 3 strzały. Jakie jest prawdopodobieństwo że co najmniej 2 pociski trafiły w tarczę.

Umiem obliczyć jeżeli strzela jeden strzelec/prawdopodobieństwo trafienia jest takie samo - stosujemy wtedy schemat bernoulliego i prawdopodobieństwo odwrotne czyli "co najwyżej jedno trafienie". Umiem również po liczyć prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia w przypadku gdy strzela 2 strzelców/są różne prawdopodobieństwa na trafienie - również z prawdopodobieństwa odwrotnego. Nie wiem jednak jak zabrać się za przedstawiony przykład, gdy chcę policzyć prawdopodobieństwo na co najmniej 2 (lub więcej, jakby zmienić treść) trafienia w przypadku, gdy są różne szanse na trafienie w tarczę.

[kerajs]

Najprostszy sposób to narysować drzewko.

Inaczej.
\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\)
gdzie zdarzenie przeciwne to sytuacje:
0) nie trafia ani razu:
\(\displaystyle{ P(0)=0,6^2 \cdot 0,7^3}\)
1) trafia raz (pierwszym, drugim,... piątym pociskiem)
\(\displaystyle{ P(1)=0,4 \cdot 0,6 \cdot 0,7^3 +0,6 \cdot 0,4 \cdot 0,7^3 +0,6^2 \cdot 0,3 \cdot 0,7^2 +\\+0,6^2 \cdot 0,7 \cdot 0,3 \cdot 0,7 +0,6^2 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3 =....}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ P(A)=1-\left[ P(0)+P(1)\right]}\)