Prawdopodobieństwo bezpośredniego występu, konkurs

[nicrovishion]

W konkursie recytatorskim bierze udział 10 uczniów. Wśród nich są uczennice klasy IIIa - Ania, Magda i Kasia. Uczestnicy konkursu losują numery ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\right\}}\), które wyznaczają kolejność recytowania. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) Ania, Magda i Kasia będą występowały bezpośrednio po sobie w dowolnej kolejności,
b) Ania i Magda będą występowały bezpośrednio po sobie w dowolnej kolejności, natomiast pomiędzy występem Kasi a występem którejś z dziewcząt z klasy IIIa wystąpi jeszcze trzech innych uczestników.

Odpowiedzi do obu podpunktów to kolejno: \(\displaystyle{ \frac{1}{15}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{36}}\)

Mi za to wyszło w podpunkcie a) \(\displaystyle{ \frac{1}{3780}}\) (\(\displaystyle{ {10 \choose 3} \cdot 8}\))

[kerajs]

\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=10!}\)
a)
Potraktuję te trzy dziewczynki jak jeden element.
Osiem elementów permutuje na \(\displaystyle{ 8!}\), ale trzy dziewczynki mogą sie ustawić na \(\displaystyle{ 3!}\) sposobów. Stąd:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=8! \cdot 3!}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{8! \cdot 3!}{10!}= \frac{3!}{9 \cdot 10}= \frac{1}{15}}\)
b)
Potraktuję te trzy dziewczynki jak jeden element, szeroki na 6 pozycji, ale z trzema pustymi miejscami:
1)\(\displaystyle{ (D,D,x,x,x,K)}\). Ustawić go można na 5 sposobów (Kasia jest 6 lub 7 ....lub 10). Anię i Magdę na dwa miejsca D ustawiamy na 2 sposoby, a pozostałych uczniów na 7! sposobów
2)\(\displaystyle{ (K,x,x,x,D,D)}\). Ustawić go można na 5 sposobów (Kasia jest 1 lub 2 ....lub 5). Anię i Magdę na dwa miejsca D ustawiamy na 2 sposoby, a pozostałych uczniów na 7! sposobów

\(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}=5 \cdot 2 \cdot 7! \cdot 2}\)

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{5 \cdot 2 \cdot 7! \cdot 2}{10!}= \frac{2}{8 \cdot 9}= \frac{1}{36}}\)