Zmienne losowe jednowymiarowe (zadania na dowodzenie)

[savalon]

Witam, podjąłem się wykonania kilkunastu zadań dodatkowych z rachunku prawdopodobieństwa, przez większość z nich przebrnąłem samodzielnie, natomiast ostatnie 3 zadania, które przedstawiłem poniżej, zaskoczyły mnie i wprowadziły w zakłopotanie - kompletnie nie mam pojęcia, w jaki sposób się za nie zabrać - czy byłby ktoś w stanie zaprezentować treściwe ich rozwiązania lub udzielić mi szczegółowych wskazówek, krok po kroku?
Poniżej treść zadań:

1. Wykazać, że jeśli: zmienne losowe X, Y są niezależne, a ich wartości przeciętne są równe zeru, to wtedy
\(\displaystyle{ D^{2}(XY)= D^{2}X \cdot D^{2}Y.}\)

2. Uzasadnić, że: wartość przeciętna kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej wartości przeciętnej jest nie większa, niż wartość przeciętna kwadratu odchylenia tej zmiennej losowej od dowolnej liczby c :
\(\displaystyle{ E(X-EX) ^{2} \le E(X-c) ^{2}}\), przy tym równość zachodzi tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ c=EX.}\)

3. Sprawdzić, że \(\displaystyle{ D ^{2}X=E[X(X-1)]-EX \cdot (EX-1).}\)

Bardzo bym prosił o pomoc

[Premislav]

1. Rozpisz z definicji:
\(\displaystyle{ D^2(XY)=\mathbf{E}[X^2Y^2]-\left( E[XY]\right)^2}\) i skorzystaj z informacji o wartościach przeciętnych (czyli oczekiwanych pewnie).
2. Rozpisz \(\displaystyle{ \mathbf{E}(X-c)^2}\), potraktuj to jak funkcję kwadratową zmiennej \(\displaystyle{ c}\) i znajdź jej minimum.
3. W czym problem? Liczysz i wychodzi. Po drodze trzeba tylko skorzystać z liniowości wartości oczekiwanej.

[savalon]

Dziękuję!