(Pochodzi ono ze zbioru zadań Panów Jaworskiego i Zielińskiego z SGGW)Pan Roztargniony zapomniał ostatniej cyfry telefonu do znajomego. W związku
z tym wykręcając numer telefonu ostatnią cyfrę wybiera losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że dodzwoni się, jeżeli ma do dyspozycji cztery żetony telefoniczne?
Rozwiązałem je, jednak mam pewne wątpliwości. Stawiam dopiero pierwsze kroki w rachunku prawdopodobieństwa dlatego przychodzę tutaj
Moje rozwiązanie:
Określmy zdarzenia:
\(\displaystyle{ B}\) - dodzwonił się (ogólnie)
\(\displaystyle{ A_{1}}\)- Dodzwonił się za pierwszą próbą
\(\displaystyle{ A_{1}'}\) - Nie dodzwonił się za pierwszą próbą
\(\displaystyle{ A_{2}, A_{2}', A_{3}, A_{3}', A_{4}, A_{4}'}\) - Analogicznie (na więcej prób nie miał żetonów)
\(\displaystyle{ P(A_{1}) + P(A_{1}') = 1, P(A_{2}) + P(A_{2}') = 1, itp}\)
\(\displaystyle{ P(A_{1}) = \frac{1}{10}}\) (bo jest dziesięć możliwości wyboru numeru telefonu, a to jest tylko jedna z nich)
\(\displaystyle{ P(B) = P(A_{1}) + P(A_{2} | A_{1}') + P(A_{3} | (A_{1}' \cap A_{2}')) + P(A_{4} | (A_{1}' \cap A_{2}' \cap A_{3}')) =}\)
\(\displaystyle{ = P(A_{1}) + \frac{P(A_{2} \cap A_{1}')}{P(A_{1}')} + \frac{P(A_{3} \cap A_{1}' \cap A_{2}')}{P(A_{1}' \cap A_{2}')} + \frac{P(A_{4} \cap A_{1}' \cap A_{2}' \cap A_{3}')}{P(A_{1}' \cap A_{2}' \cap A_{3}')} =}\)
(wykorzystujemy wiedzę, że \(\displaystyle{ P(X \cap Y) =P(X) \cdot P(Y)}\) o ile X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi)
\(\displaystyle{ = P(A_{1}) + \frac{P(A_{2} ) \cdot P( A_{1}')}{P(A_{1}')} + \frac{P(A_{3} ) \cdot P( A_{1}' ) \cdot P( A_{2}')}{P(A_{1}' ) \cdot P( A_{2}')} + \frac{P(A_{4} ) \cdot P( A_{1}' ) \cdot P( A_{2}' ) \cdot P( A_{3}')}{P(A_{1}' ) \cdot P( A_{2}' ) \cdot P( A_{3}')} =}\)
\(\displaystyle{ = P(A_{1}) + P(A_{2}) + P(A_{3}) + P(A_{4}) = 4 \cdot P(A_{1}) = 4 \cdot 0.1 = 0.4}\)
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że Pan Roztargniony się dodzwoni mając do dyspozycji cztery żetony telefoniczne wynosi 0.4.
Rozwiązanie liczbowo zgadza się z moim drugim, mniej formalnym rozwiązaniem (zrobiłem to samo zadanie za pomocą drzewka)
Mam jednak pewne wątpliwości jeżeli chodzi o zasadność użycia w tym zadaniu prawdopodobieństwa warunkowych. Gdy robiłem to zadanie, to użyłem pewnej własności dotyczącej właśnie zdarzeń niezależnych. Ale: zdarzenia są niezależne gdy prawdopodobieństwo wystąpienia jednego nie ma wpływu na wystąpienie drugiego - te tutaj chyba nie są niezależne. Bo jeżeli powiedzie nam się i za pierwszym razem się dodzwonimy, to pewnym jest że za drugim razem dzwoniąc na inny numer już się nie dodzwonimy. Jak powinno wyglądać "formalne" rozwiązanie tego zadania w takim wypadku?
