Definiujemy procesy stochastyczne \(\displaystyle{ X_{t}=a \cdot W _{t}+b}\) oraz \(\displaystyle{ Y _{t}=exp(a W_{t}+b)}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ Cov(X _{t},Y _{t})}\)
Jak wyznaczyć \(\displaystyle{ E( X_{t} \cdot Y_{t})}\)?
Proces Wienera - kowariancja
Proces Wienera - kowariancja
\(\displaystyle{ E[X_t Y_t]=aE[W_t e^{aW_{t}+b}]+bE[e^{aW_{t}+b}]}\)
I na przykład:
\(\displaystyle{ E[W_t e^{aW_{t}+b}]=E[X e^{aX+b}]=...}\)
gdzie \(\displaystyle{ X\sim N(0,t)}\)
Albo:
\(\displaystyle{ E[X_t Y_t]=E\left[ \left( aW_t+b\right)e^{aW_{t}+b} \right]=E[Xe^{X}]=...}\)
gdzie \(\displaystyle{ X\sim N(b,a^{2}t)}\)
I na przykład:
\(\displaystyle{ E[W_t e^{aW_{t}+b}]=E[X e^{aX+b}]=...}\)
gdzie \(\displaystyle{ X\sim N(0,t)}\)
Albo:
\(\displaystyle{ E[X_t Y_t]=E\left[ \left( aW_t+b\right)e^{aW_{t}+b} \right]=E[Xe^{X}]=...}\)
gdzie \(\displaystyle{ X\sim N(b,a^{2}t)}\)