Centralne Twierdzenie Graniczne

[strzelec003]

Mamy 100 żarówek, których czas działania jest wykładniczy o średniej 5 godzin. Używamy jednocześnie tylko jednej żarówki, a w przypadku zepsucia się żarówki natychmiast wstawiamy na jej miejsce nową. Wyznacz prawdopodobieństwo, że po 525 godzinach będzie
1. w zapasie przynajmniej jeszcze jedna żarówka;
2. działała jakaś żarówka.

[musialmi]

Mówisz, że chcesz korzystać z CTG? Umiesz wyznaczyć wariancję czasu działania żarówki?

[strzelec003]

Tak, wiem, że \(\displaystyle{ EX=5}\), a \(\displaystyle{ VarX=25}\). Korzystałem już z twierdzenia granicznego, tylko bardzo dziwnie sformułowane są dla mnie te 2 podpunkty i nie wiem jak mam to ze sobą połączyć. Wiadomo, że mamy 100 żarówek i każda ma rozkład wykładniczy z podanymi wyżej parametrami. Pytanie brzmi jakie jest prawdopodobieństwo, że po 525 godzinach będzie jeszcze jedna żarówka w zapasie, lub będzie działała jakaś żarówka. Czy to oznacza odpowiednio:

1. \(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{99} X_i >525)}\)

2. \(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{100} X_i >525)}\) ?

Bo nie jestem pewien czy dobrze rozumiem polecenie.

[musialmi]

Okej. Trzeba pomyśleć czym są \(\displaystyle{ X_i}\) i zdać sobie sprawę co oznacza ich suma. Jedyną zmienną losową w zadaniu jest czas działania żarówki ("100 żarówek, których czas działania jest wykładniczy o średniej 5 godzin"). Więc \(\displaystyle{ X_i}\) niech będzie czasem działania \(\displaystyle{ i}\)-tej żarówki.

1. W zapasie ma być (w pudełku) przynajmniej jedna żarówka po 525 godzinach. Żarówek nie używamy naraz, tylko jedna po drugiej. Czyli jeśli zsumujemy czasy ich działania, to dostaniemy czas, przez który trwa cały eksperyment. W tym podpunkcie skracamy eksperyment do 99 żarówek, bo ma nam zostać co najmniej jedna (w pudełku, czyli jeszcze niebiorąca udziału w eksperymencie). A więc dobrze napisałeś (chociaż poprawię lekko, bo rozkład jest wykładniczy, więc rozpatrujemy nie tylko pełne godziny, ale też ułamki godzin): szukamy \(\displaystyle{ P\left( \sum_{i=1}^{99} X_i \geq 525 \right)}\).

2. Wydaje się, że to to samo. Po 525 godzinach ma działać jakaś żarówka. Czyli po 525 godzinach ma być zapalona jakaś żarówka. To znaczy, że cały eksperyment ma trwać więcej niż 525 godzin. Czyli dokładnie to, co napisałeś \(\displaystyle{ P \left( \sum_{i=1}^{100} X_i >525\right)}\).

Gratuluję

[strzelec003]

Okej, dzięki za rozwianie wszelkich wątpliwości