Pareto, warunkowa w.o. względem minimum, sprawdzenie.

[kp1311]

Witam!
Potrzebuje pomocy ze znalezieniem błędu w swoim rozwiązaniu poniższego zadania.
Treść:
\(\displaystyle{ Z_1,...,Z_n,...}\) idd o rozkładzie Pareto:
\(\displaystyle{ p_{\lambda,\theta}(x) = \frac{\theta \lambda^{\theta}}{(x+\lambda)^{\theta+1}},x>0}\)
\(\displaystyle{ \theta > 1, \lambda >0}\)

Zmienna \(\displaystyle{ N}\) jest niezależna od zmiennych \(\displaystyle{ Z}\) oraz:
\(\displaystyle{ P(N = n) = (1-q)q^{n-1}}\), \(\displaystyle{ n=1,2,...}\)

Niech \(\displaystyle{ m_n =min\{Z_1,...,Z_n\}}\)

Obliczyć \(\displaystyle{ E(Z_1+...+Z_N | m_N = t)}\).



Rozwiązanie:
Przyjmuje oznaczenia:
\(\displaystyle{ \rho(z,t)}\) - gęstość rozkładu łączneg \(\displaystyle{ (Z_1,m_n)}\)
\(\displaystyle{ \rho(z|t)}\) - gęstość warunkowa \(\displaystyle{ Z_1=z}\) względem \(\displaystyle{ m_n=t}\)
\(\displaystyle{ \rho(t|z)}\) - gęstość warunkowa \(\displaystyle{ m_n=t}\) względem \(\displaystyle{ Z_1=z}\)
(nie wkładamy liczb w miejsce \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ t}\) więc nie ma co się czepiać o kolizję oznaczeń).
\(\displaystyle{ \chi(A)}\) - jedynka gdy \(\displaystyle{ A}\) jest prawdą, 0 gdy jest fałszem.


1) Przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ E(Z_1+...+Z_n | m_n = t) = nE(Z_1 | m_n =t)}\) .

Teraz wyliczamy gęstości warunkowe:
2) \(\displaystyle{ \rho(t|z) = (n-1)\frac{\theta \lambda^{\theta(n-1)}}{(t+\lambda)^{(n-1)\theta+1}}\chi(z>t)}\):
Rachunki:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P(m_n \le t | Z_1 = z) = 1 - P(min\{z,Z_2,...,Z_n\}>t) =
1 - P^{n-1}(Z >t)\chi(z>t) =}\)
\(\displaystyle{ =1 - \frac{\lambda^{(n-1)\theta}}{(t+\lambda)^{(n-1)\theta}}\chi(z>t)}\)
różniczkujemy (uważając na patologiczne \(\displaystyle{ n=1}\)) i dostajemy:
\(\displaystyle{ \rho(t|z) = (n-1)\frac{\theta \lambda^{\theta(n-1)}}{(t+\lambda)^{(n-1)\theta+1}}\chi(z>t)}\) (dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)).

3) \(\displaystyle{ \rho(z|t) = \frac{\theta (t+\lambda)^{\theta}}{(z+\lambda)^{\theta+1}}\chi(z>t)}\)
Rachunki

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \rho(z|t) = \frac{\rho(t|z)\rho(z)}{\rho(t)} = \frac{\rho(t|z)\rho(z)}{\int_{\mathbb{R}}\rho(t|z)\rho(z) dz}}\)

\(\displaystyle{ \rho(t|z)\rho(z) = (n-1)\frac{\theta^2 \lambda^{\theta n}}{(t+\lambda)^{(n-1)\theta+1}(z+\lambda)^{\theta+1}}\chi(z>t)}\)

Teraz dużo się skraca:
\(\displaystyle{ \rho(z|t) =\frac{\rho(t|z)\rho(z)}{\int_{\mathbb{R}}\rho(t|z)\rho(z) dz} = \frac{(z+\lambda)^{-\theta-1}\chi(z>t)}{\int_{t}^{\infty} (z+\lambda)^{-\theta-1}dz} = \frac{\theta (t+\lambda)^{\theta}}{(z+\lambda)^{\theta+1}}\chi(z>t)}\) (wynik nie zależy od \(\displaystyle{ n}\) co jest nieintuicyjne)

4) Wyliczamy \(\displaystyle{ E(Z|m_n=t) = \frac{t\theta + \lambda}{\theta-1}}\).
Rachunki:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ E(Z|m_n=t) = \int_{\mathbb{R}}z f(z|t) dz = \int_{t}^{\infty} \frac{\theta (z+\lambda)(t+\lambda)^{\theta}}{(z+\lambda)^{\theta+1}}dz - \lambda \int_{\mathbb{R}} f(z|t) dz}\) (używając \(\displaystyle{ z = z-\lambda + \lambda}\) rozbijamy na dwie prostsze całki)
pomocniczy rachunek:
\(\displaystyle{ \int_{t}^{\infty} \frac{\theta (z+\lambda)(t+\lambda)^{\theta}}{(z+\lambda)^{\theta+1}}dz = \frac{(t+\lambda)\theta}{\theta-1}\int_{t}^{\infty} \frac{(\theta-1) (t+\lambda)^{\theta-1}}{(z+\lambda)^{\theta}}dz = \frac{(t+\lambda)\theta}{\theta-1}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ E(Z|m_n=t) = \frac{(t+\lambda)\theta}{\theta-1} - \lambda}\)

5)Lekko zmodyfikowana średnia zmiennej \(\displaystyle{ N}\): \(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=2} nP(N=n) =\frac{2q-q^2}{1-q}}\).

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=2} nP(N=n) = \sum^{\infty}_{n=2} (1-p)nq^{n-1} =
(1-q)(-1 + \sum^{\infty}_{n=0}(n+1)q^{n}) = (1-q)(-1 + \frac{1}{(1-q)^2}) = \frac{2q-q^2}{1-q}}\)

6) Końcowe obliczenia:
\(\displaystyle{ E(Z_1+...+Z_N | m_N = t) = \sum_{n=1}^{\infty} nE(Z_1 | m_n = t)P(N=n) =}\)
\(\displaystyle{ =E(Z_1|Z_1=t)(1-q) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{t\theta + \lambda}{\theta-1} n P(N=n) =
t(1-q)+\frac{(2q-q^2)}{1-q}\frac{(t\theta + \lambda)}{\theta-1}}\)

Zadanie pochodzi z egzaminu aktuarialnego i tam sugerowana odpowiedź to:
\(\displaystyle{ \frac{\lambda q + \theta t - (1-q)t}{(\theta - 1)(1-q)}}\).


Pozdrawiam

-- 24 gru 2016, o 21:54 --

Mam:
To co zostało policzone w 4) to tak naprawdę: \(\displaystyle{ E(Z_1 | min(Z_2,...,Z_n) = t, Z_1 \neq min_n)}\).
By dojść do \(\displaystyle{ E(Z_1 | min(Z_1,...,Z_n)=t)}\)musimy zadać sobie pytanie o to gdzie znajduje się minimum.
Wtedy:
\(\displaystyle{ E(Z_1 | m_n=t) =}\)
\(\displaystyle{ = E(Z_1 | m_n=t, Z_1 = m_n)P(Z_1 = m_n) + E(Z_1 | m_n=t, Z_1 \neq m_n)P(Z_1 \neq m_n)}\).

Oczywiście:
\(\displaystyle{ P(Z_1 = m_n) = \frac{1}{n}}\).