Potrzebuje pomocy ze znalezieniem błędu w swoim rozwiązaniu poniższego zadania.
Treść:
\(\displaystyle{ Z_1,...,Z_n,...}\) idd o rozkładzie Pareto:
\(\displaystyle{ p_{\lambda,\theta}(x) = \frac{\theta \lambda^{\theta}}{(x+\lambda)^{\theta+1}},x>0}\)
\(\displaystyle{ \theta > 1, \lambda >0}\)
Zmienna \(\displaystyle{ N}\) jest niezależna od zmiennych \(\displaystyle{ Z}\) oraz:
\(\displaystyle{ P(N = n) = (1-q)q^{n-1}}\), \(\displaystyle{ n=1,2,...}\)
Niech \(\displaystyle{ m_n =min\{Z_1,...,Z_n\}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ E(Z_1+...+Z_N | m_N = t)}\).
Rozwiązanie:
Przyjmuje oznaczenia:
\(\displaystyle{ \rho(z,t)}\) - gęstość rozkładu łączneg \(\displaystyle{ (Z_1,m_n)}\)
\(\displaystyle{ \rho(z|t)}\) - gęstość warunkowa \(\displaystyle{ Z_1=z}\) względem \(\displaystyle{ m_n=t}\)
\(\displaystyle{ \rho(t|z)}\) - gęstość warunkowa \(\displaystyle{ m_n=t}\) względem \(\displaystyle{ Z_1=z}\)
(nie wkładamy liczb w miejsce \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ t}\) więc nie ma co się czepiać o kolizję oznaczeń).
\(\displaystyle{ \chi(A)}\) - jedynka gdy \(\displaystyle{ A}\) jest prawdą, 0 gdy jest fałszem.
1) Przy ustalonym \(\displaystyle{ n}\):
\(\displaystyle{ E(Z_1+...+Z_n | m_n = t) = nE(Z_1 | m_n =t)}\) .
Teraz wyliczamy gęstości warunkowe:
2) \(\displaystyle{ \rho(t|z) = (n-1)\frac{\theta \lambda^{\theta(n-1)}}{(t+\lambda)^{(n-1)\theta+1}}\chi(z>t)}\):
Rachunki:
Ukryta treść:
Rachunki
Ukryta treść:
Rachunki:
Ukryta treść:
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ E(Z_1+...+Z_N | m_N = t) = \sum_{n=1}^{\infty} nE(Z_1 | m_n = t)P(N=n) =}\)
\(\displaystyle{ =E(Z_1|Z_1=t)(1-q) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{t\theta + \lambda}{\theta-1} n P(N=n) =
t(1-q)+\frac{(2q-q^2)}{1-q}\frac{(t\theta + \lambda)}{\theta-1}}\)
Zadanie pochodzi z egzaminu aktuarialnego i tam sugerowana odpowiedź to:
\(\displaystyle{ \frac{\lambda q + \theta t - (1-q)t}{(\theta - 1)(1-q)}}\).
Pozdrawiam
-- 24 gru 2016, o 21:54 --
Mam:
To co zostało policzone w 4) to tak naprawdę: \(\displaystyle{ E(Z_1 | min(Z_2,...,Z_n) = t, Z_1 \neq min_n)}\).
By dojść do \(\displaystyle{ E(Z_1 | min(Z_1,...,Z_n)=t)}\)musimy zadać sobie pytanie o to gdzie znajduje się minimum.
Wtedy:
\(\displaystyle{ E(Z_1 | m_n=t) =}\)
\(\displaystyle{ = E(Z_1 | m_n=t, Z_1 = m_n)P(Z_1 = m_n) + E(Z_1 | m_n=t, Z_1 \neq m_n)P(Z_1 \neq m_n)}\).
Oczywiście:
\(\displaystyle{ P(Z_1 = m_n) = \frac{1}{n}}\).