Spotkanie na drodze

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 18 gru 2016, o 19:26

Zarówno osoba I, która idzie z A do B, jak i osoba II idąca z B do A pokonują tę drogę w 15 minut. Osoba I wyrusza z A nie wcześniej niż o 12 i nie później niż o 13, II zaś osoba wyrusza z B nie wcześniej niż o 12 minut 30 i nie później niż o 13 tego samego dnia. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkania się tych dwóch osób na drodze.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 18 gru 2016, o 21:36

Rysujemy kwadrat $\displaystyle{ ( 60\times 60) \ \ min.}$

Dla osoby I dzielimy go na 4 równe paski poziome co $\displaystyle{ 15 \ \ min.}$

Dla osoby II dzielimy go na 2 paski pionowe od $\displaystyle{ 12.30 - 13.00}$

Powstało w ten sposób 8 kwadracików $\displaystyle{ ( 15\times 15) \ \ min.}$

Prawdopodobieństwo zdarzenia $\displaystyle{ \mathbb{S}}$, że osoby spotkają się na drodze

$\displaystyle{ P(\mathbb{S}) = \frac{8\cdot 15\cdot 15}{60\cdot 60}= \frac{1}{2}.}$

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 18 gru 2016, o 21:47

janusz47 pisze:Prawdopodobieństwo zdarzenia $\displaystyle{ \mathbb{S}}$, że osoby spotkają się na drodze

$\displaystyle{ P(\mathbb{S}) = \frac{8\cdot 15\cdot 15}{60\cdot 60}= \frac{1}{2}.}$

Czy z takiego podejścia wynika, że jeśli II osoba również może wyjść o dowolnej porze między 12 a 13 godziną, to
$\displaystyle{ P(\mathbb{S}) = \frac{16\cdot 15\cdot 15}{60\cdot 60}=1\ \ ?}$

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 18 gru 2016, o 23:47

Moja koncepcja to taka:

Niech $\displaystyle{ \ T}$ oznacza czas godzinę w której oni się spotkają

$\displaystyle{ t_{1}}$ - czas wyjścia z A

$\displaystyle{ t_{2}}$ - czas wyjścia z B

Prędkości obu są równe - $\displaystyle{ v}$

$\displaystyle{ AB=1}$ - droga

droga , którą przeszedł z A wynosi:

$\displaystyle{ v(T-t_{1})}$

droga , którą przeszedł z B wynosi:

$\displaystyle{ v(T-t_{2})}$

czyli:

$\displaystyle{ v(T-t_{1})+v(T-t_{2})=1}$

$\displaystyle{ v= \frac{1}{ \frac{1}{4} }=4}$

$\displaystyle{ T-t_{1}+T-t_{2}= \frac{1}{4}}$

$\displaystyle{ T= \frac{t_{1}+t_{2}+ \frac{1}{4} }{2}}$

$\displaystyle{ t_{1} \in \left\langle 12^{00}-13^{00}\right\rangle}$

$\displaystyle{ t_{2} \in \left\langle 12^{30}-13^{00}\right\rangle}$

niech:

$\displaystyle{ t_{1}=12+x}$

$\displaystyle{ x \in \left\langle 0;1\right\rangle}$

$\displaystyle{ t_{2}=12,5+y}$

$\displaystyle{ y \in \left\langle 0; \frac{1}{2} \right\rangle}$

Nasza omega będzie to więc prostokąt o bokach:

$\displaystyle{ \frac{1}{2} \times 1}$

Czyli:

(*) $\displaystyle{ T= \frac{12+x+12,5+y+0,25}{2}= \frac{24,75+x+y}{2}}$

ale jak wiadomo T w skrajnych przypadkach może być:

$\displaystyle{ 12^{30}}$ - gdy ten z A wyjdzie o $\displaystyle{ 12^{15}}$ a ten z B o $\displaystyle{ 12^{30}}$

$\displaystyle{ 13^{7,5}}$ - gdy ten z A wyjdzie o $\displaystyle{ 13^{00}}$ a ten z B też o $\displaystyle{ 13^{00}}$

czyli:

$\displaystyle{ T \in \left\langle12,5 ; 13,125 \right\rangle}$

podstawmy za $\displaystyle{ \ T}$ (*) i mamy:

$\displaystyle{ 12,5 \le \frac{24,75+x+y}{2} \le 13,125}$

lub:

$\displaystyle{ 25 \le 24,75+x+y \le 26,25}$

lub:

$\displaystyle{ 0,25 \le x+y \le 1,5}$

I będzie to ten obszar w prostokącie $\displaystyle{ 1 \times \frac{1}{2}}$

ja po prostu źle wziąłem prędkość przy tych jednostkach powinno być 4.

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 19 gru 2016, o 06:01

Hmm, wg mnie $\displaystyle{ \frac{7}{16}}$. W obu przypadkach.
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.125cm,y=0.125cm]
\draw[->,color=black] (-5.,0.) -- (65.,0.);
\foreach \x in {15.,30.,45.,60.}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw[->,color=black] (0.,-5.) -- (0.,65.);
\foreach \y in {15.,30.,45.,60.}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\clip(-5.,-5.) rectangle (65.,65.);
\fill[color=red,fill=red] (0.,60.) -- (45.,60.) -- (15.,30.) -- (0.,30.) -- cycle;
\fill[color=red,fill=red] (60.,45.) -- (60.,30.) -- (45.,30.) -- cycle;
\fill[color=green,fill=green] (45.,60.) -- (60.,60.) -- (60.,45.) -- (45.,30.) -- (15.,30.) -- cycle;
\fill[color=red,fill=red] (60.,0.) -- (15.,0.) -- (45.,30.) -- (60.,30.) -- cycle;
\fill[color=green,fill=green] (15.,0.) -- (0.,0.) -- (0.,15.) -- (15.,30.) -- (45.,30.) -- cycle;
\fill[color=red,fill=red] (0.,15.) -- (0.,30.) -- (15.,30.) -- cycle;
\draw [color=gray, xstep=1.875cm,ystep=1.875cm] (0,0) grid (65.,65.);
\draw [line width=1mm,color=black] (0.,30.)-- (60.,30.);
\end{tikzpicture}}\)

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 19 gru 2016, o 22:05

arek1357 pisze: $\displaystyle{ 0,25 \le x+y \le 1,5}$

I będzie to ten obszar w prostokącie $\displaystyle{ 1 \times \frac{1}{2}}$

To ile wynosi to prawdopodobieństwo?

bosa_Nike pisze:Hmm, wg mnie $\displaystyle{ \frac{7}{16}}$. W obu przypadkach.

O jakich dwóch przypadkach piszesz?

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 19 gru 2016, o 22:15

Chodziło mi o zadanie oryginalne i wersję, o którą pytałaś później, tzn. kiedy obaj mają takie same okna czasowe.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 20 gru 2016, o 00:32

Chodzi mi o pole tego czerwonego wielokąta:

Tak mi wyszło z tych dywagacji...

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 20 gru 2016, o 13:41

Więc dywagacje były błędne, gdyż pole tego czerwonego wielokąta $\displaystyle{ P>\frac{7}{16}}$

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 22 gru 2016, o 00:04

przepraszam nie dałem wartości bezwzględnej powinno być:
(Dałem ciała powinni mnie zbanować)

Szkoda, że nie mogę usunąć mego powyższego posta ale nawet dobrze jest to klasyczny przykład jak można wyjść z kuchni do pokoju a potem zabłądzić i nie móc wrócić z powrotem.

$\displaystyle{ x, y}$ - to czasy

$\displaystyle{ |0,5+y-x| \le \frac{1}{4}}$

Wtedy wychodzi $\displaystyle{ \frac{7}{16}}$

To przypadek dla czasu z pierwszej części zadania

Przepraszam ale rozpisałem się jak głupi a nie dodałem wartości bezwzględnej zadanie banał,
a ja skrajny tuman jeszcze raz przepraszam. Moja wina moja wina...

Drugi przypadek:

$\displaystyle{ y-x \le \frac{1}{4}}$

i:

$\displaystyle{ y-x \ge -\frac{1}{4}}$

I prawdopodobieństwo wyjdzie tyle samo

czyli:

$\displaystyle{ \frac{7}{16}}$

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 29 mar 2017, o 18:09

Przepraszam za odkopywanie starszego tematu, ale myślę, że nie było sensu w tym wypadku zakładać nowego. Mógłby ktoś mi wytłumaczyć, dlaczego prawdopodobieństwo jest takie same w przypadku, gdy obydwaj mają takie same i różne okna czasowe? Moim zdaniem tak nie będzie, ale bardzo możliwe, że nie widzę (jak zawsze) jakiejś oczywistej rzeczy.

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 29 mar 2017, o 22:42

To jest prawdopodobieństwo, które graficznie dobrze przedstawiła bosa_Nike
na osi X mamy moment wyjścia I, na osi Y II osobnika
oni spotkają się na drodze, jeśli różnica momentów ich wyjścia jest nie większa niż 15 minut
czyli $\displaystyle{ |y-x| \le 15\ \ \ \Rightarrow \ \ \ y \ge x-15\ \ \wedge\ \ y \le x+15}$
tę nierówność obrazuje zielony obszar

np. jeśli byłoby tak, że II wychodzi między 12:45 a 13:00 to w grę wchodziłby rząd czterech górnych kwadratów
wówczas zielona powierzchnia stanowiłaby $\displaystyle{ \frac38}$ i takie byłoby prawdopodobieństwo spotkania się

MrCommando · Post autor: **MrCommando** » 30 mar 2017, o 00:05

A, już rozumiem. Dziękuję za wytłumaczenie. Mój błąd polegał na tym, że mimo, że zmieniły się okna czasowe, to nie zmieniłem przestrzeni zdarzeń elementarnych i rozpatrywałem cały duży kwadrat - dlatego też wychodziły różne prawdopodobieństwa.