W loteri bierze udział

[Tylywizor]

1. W loterii bierze udział \(\displaystyle{ 100}\) losów, z których dokładnie \(\displaystyle{ 5}\) wygrywa. Kupiono \(\displaystyle{ 3}\) losy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich :
a) dokładnie jeden wygrywa,
b) co najmniej jeden wygrywa?

2. Na egzamin przygotowano \(\displaystyle{ 30}\) zadań, z których zdający losuje \(\displaystyle{ 3}\). Jeżeli rozwiąże co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) zadania, to zda egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zdający zda egzamin, jeśli umie rozwiązać zadań?

3. Gracz wypełnia jeden zakład „Małego Lotka” (z \(\displaystyle{ 35}\) liczb wykreśla \(\displaystyle{ 5}\)). Jakie jest prawdopodobieństwo wytypowania trafnie:
a) pięciu liczb,
b) czterech liczb,
c) trzech liczb?

4. Z urny zawierającej \(\displaystyle{ 5}\) kul białych i \(\displaystyle{ 10}\) czarnych losujemy \(\displaystyle{ 4}\) kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych kul są:
a) wszystkie czarne,
b) dwie czarne,
c) co najwyżej jedna biała,
d) co najmniej jedna biała.

5. W paczce znajduje się \(\displaystyle{ 10}\) książek po \(\displaystyle{ 12\,\mbox{zł}, 7}\) po \(\displaystyle{ 15\,\mbox{zł}}\) i \(\displaystyle{ 5}\) po \(\displaystyle{ 17\,\mbox{zł}}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że trzy losowo wybrane książki są w tej samej cenie.

6. W zestawie egzaminacyjnym umieszczono pytania z trzech działów matematyki: \(\displaystyle{ 24}\) z algebry, \(\displaystyle{ 18}\) z geometrii i \(\displaystyle{ 12}\) z rachunku prawdopodobieństwa. Zdający losuje trzy pytania (bez zwracania). Jakie ma prawdopodobieństwo:
a) wylosowania po jednym pytaniu z każdego działu
b) wylosowania trzech pytań z algebry
c) wylosowania dwóch pytań z rachunku prawdopodobieństwa i jednego z geometrii?

7. W czasie spotkania towarzyskiego, na którym było \(\displaystyle{ 10}\) par małżeńskich (\(\displaystyle{ 20}\) osób), wybrano losowo trzech mężczyzn i trzy kobiety. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wybranych osób:
a) nie będzie męża i żony,
b) będzie jedna para małżeńska,
c) będą dwie pary małżeńskie?

8. Z urny, w której znajduje się \(\displaystyle{ 10}\) białych i \(\displaystyle{ 5}\) czarnych kul, dwukrotnie losujemy po jednej kuli. Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kul o różnych kolorach, a zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) oznacza wylosowanie kul w tym samym kolorze.
a) Oblicz \(\displaystyle{ P(A)}\) i \(\displaystyle{ P(B)}\) wiedząc, że losowanie kul odbywa się ze zwracaniem.
b) Ile kul czarnych należy dodać do urny, aby \(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\), gdy losujemy kule bez zwracania?

9. W urnie znajduje się \(\displaystyle{ n}\) kul, z których \(\displaystyle{ 5}\) jest czarnych. Jakie powinno być \(\displaystyle{ n}\), aby przy losowaniu dwóch kul bez zwracania prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej było większe od .

10. W pudełku \(\displaystyle{ P_1}\) umieszczono trzy piłki białe i dwie czarne. W pudełku \(\displaystyle{ P_2}\) umieszczono pięć piłek białych i trzy czarne. Pudełka \(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\) nie zawierają (poza wymienionymi ) żadnych innych piłek. Losujemy dwie piłki na dwa sposoby:
1) obie piłki losujemy z pudełka \(\displaystyle{ P_2}\),
2) losujemy po jednej piłce z każdego pudełka.
Który ze sposobów daje mniejsze prawdopodobieństwo wylosowania dwóch piłek o różnych kolorach?

11. Ze zbioru \(\displaystyle{ \{-1, 2, 4, 5, 7\}}\) losujemy kolejno ze zwracaniem parę liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\). Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą następującymi zdarzeniami:
\(\displaystyle{ A}\) – suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą większą od \(\displaystyle{ 3}\),
\(\displaystyle{ B}\) – wylosowana para liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) spełnia warunek: .
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń \(\displaystyle{ A, B}\) oraz \(\displaystyle{ A B}\).

12. Na loterii jest \(\displaystyle{ 12}\) losów, w tym \(\displaystyle{ k}\) wygrywających. Zakupiono dwa losy.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) polegającego na wylosowaniu dokładnie jednego losu wygrywającego?
b) Ile powinno być losów wygrywających, aby prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) było większe od ?

13. Do windy na parterze \(\displaystyle{ 18}\)-piętrowego domu weszło \(\displaystyle{ 4}\) pasażerów. Każdy z pasażerów może wysiąść na dowolnym piętrze, począwszy od dwunastego, z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że
a) wszyscy wysiądą na \(\displaystyle{ 16}\) piętrze,
b) wszyscy wysiądą na tym samym piętrze,
c) wszyscy wysiądą na różnych piętrach.

14. Z talii pięćdziesięciodwukartowej losujemy jedną kartę . Sprawdź czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne , jeśli: \(\displaystyle{ A}\) – otrzymamy figurę (walet , dama , król , as ), \(\displaystyle{ B}\) – otrzymamy pika.

15. Ze zbioru liczb losujemy najpierw dwie różne cyfry, a następnie jedną cyfrę z pozostałych. Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie, które polega na wylosowaniu za pierwszym razem dwóch cyfr, których suma jest większa od \(\displaystyle{ 5, B}\) – na wylosowaniu za pierwszym razem dwóch cyfr, których iloczyn nie jest podzielny przez \(\displaystyle{ 3, C}\) – na wylosowaniu za drugim razem cyfry mniejszej niż \(\displaystyle{ 3}\) nie znając wyniku pierwszego losowania.
a) Sprawdź, czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ C.}\)

16. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wyrzuconych oczek jest co najmniej \(\displaystyle{ 11}\), zaś \(\displaystyle{ B}\) – zdarzenie polegające na tym, że w
pierwszym rzucie wypadła parzysta liczba oczek. Zbadaj, czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są
niezależne.

17. Wśród wszystkich bliźniąt \(\displaystyle{ 64\%}\) to bliźnięta tej samej płci. Oblicz prawdopodobieństwo, że drugie z bliźniąt jest dziewczynką, pod warunkiem, że:
a) pierwsze jest dziewczynką,
b) pierwsze jest chłopcem,
jeśli prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi .

18. Z cyfr \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}\) układamy liczby dwucyfrowe o niepowtarzających się cyfrach (pierwsza wybrana cyfra to cyfra dziesiątek , druga to cyfra jedności) . Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania liczby parzystej , jeżeli za pierwszym razem wylosowano trójkę ?

19. Z talii pięćdziesięciodwukartowej losujemy jedną kartę . Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania asa, jeżeli wiadomo, że otrzymana karta jest pikiem.

20. Rzucamy dwa razy kostką do gry . Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej \(\displaystyle{ 8}\), jeżeli wiadomo , że za pierwszym razem wypadła liczba nieparzysta.

21. Z cyfr \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}\) układamy liczby dwucyfrowe o cyfrach mogących się powtarzać (pierwsza wybrana cyfra to cyfra dziesiątek , druga to cyfra jedności) . Jakie jest
prawdopodobieństwo uzyskania liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 5}\), jeżeli pierwsza cyfra (cyfra dziesiątek) jest parzysta ?

22. W grupie \(\displaystyle{ 15}\) uczniów zgłoszonych do biegów przełajowych jest \(\displaystyle{ 10}\) chłopców i \(\displaystyle{ 5}\) dziewcząt. Prawdopodobieństwo zdobycia punktowanego miejsca przez dziewczynę
wynosi, a przez chłopca . Jakie jest prawdopodobieństwo , że losowo wybrany uczeń
zajmie miejsce punktowane ?

23. Z urny zawierającej \(\displaystyle{ 7}\) kul białych, \(\displaystyle{ 3}\) zielone i \(\displaystyle{ 5}\) czarnych losowo wyjęto jedną kulę, a następnie włożono do tej urny dwie kule o kolorze kuli wylosowanej . Oblicz
prawdopodobieństwo że wylosowana teraz z urny jedna kula będzie czarna.

24. Zakład produkujący żarówki pracuje na dwie zmiany. Przeciętnie pierwsza zmiana wypuszcza \(\displaystyle{ 5\%}\) żarówek wadliwych, a druga zmiana \(\displaystyle{ 3\%}\). Pierwsza zmiana wytwarza
dwukrotnie więcej żarówek niż druga. Wszystkie żarówki sprzedawane są w sklepie przyzakładowym. Kupiliśmy jedną żarówkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest dobra?

25. Dane są dwie urny z kulami: w pierwszej jest \(\displaystyle{ 5}\) kul białych i \(\displaystyle{ 5}\) czarnych, w drugiej \(\displaystyle{ 4}\) białe i \(\displaystyle{ 6}\) czarnych. Rzucamy kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), to losujemy jedną kulę z urny I , w przeciwnym wypadku jedną kulę z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo , że wylosowana kula jest czarna?

26. Ze zbioru losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby i układamy je obok siebie, tworząc liczbę dwucyfrową, której cyfrą dziesiątek jest pierwsza z wylosowanych liczb. Oblicz prawdopodobieństwa wylosowanych zdarzeń:
\(\displaystyle{ A}\) – otrzymana liczba jest parzysta
\(\displaystyle{ B}\) – otrzymana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
b) Sprawdź, czy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne.

[Premislav]

To jakiś żart? Nikt Ci nie zrobi za darmo około 20 zadań. Pokaż jakieś próby rozwiązania, to wtedy pomożemy.
Myślę zresztą, że to bardzo typowe zadania i wiele podobnych jest tutaj:
5992.htm

[miodzio1988]

Czekamy Tylywizor, na to aż coś od siebie dasz, pokaż próby rozwiązań

[Tylywizor]

16.
\(\displaystyle{ \Omega = 6^{2}=36\\
A= \{ (5;6), (6,5), (6,6)\}\\
B= \{ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2),\\ (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}\\
P(A) = \frac{3}{36},\ P(B) = \frac{18}{36}\\
P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)}\)

-- 18 gru 2016, o 19:46 --

1. \(\displaystyle{ A}\) - dokładnie jeden los wygrywa
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{{5 \choose 1} {95\choose 2} }{ {100 \choose 3} }}\)
\(\displaystyle{ B}\) - Co najmniej jeden los jest wygrywający
\(\displaystyle{ B'}\) - Wszystkie losy są puste
\(\displaystyle{ P(B)=1-P(B')\\
P(B')= \frac{{95 \choose 3} }{ {100 \choose 3}}}\)

[piasek101]

1) wygląda ok.

No to dawaj 4) bo to też kombinacje.

[Jan Kraszewski]

W wielu zadaniach są braki w treści.

JK