Dwuwymiarowy rozkład normalny.
: 10 wrz 2007, o 21:39
Takie oto zadanie z mojego kolokwium:
Wektor losowy (X,Y) ma gęstość:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{\sqrt{5}}{2 \pi} e^{-\frac{1}{2}(x^2+2xy+5y^2)}}\)
1. Czy zmienne X, Y są niezależne.
2. Wynaczyć gęstość wektora \(\displaystyle{ (U,V)}\), gdzie \(\displaystyle{ U=X+Y, V=X-Y}\).
3. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \rho(U,V)}\)
Pierwsze co zauważyłem to całkując f po całej płaszczyźnie nie otrzymałem jako wyniku jedynki... czyli ta funkcja wyglada że wcale nie jest gęstością. Natomiast nawet jeśli ją poprawiam tak aby całka wynosiła 1 (zmieniam stałą przed e na \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}}\)) to licząc rozkłady brzegowe (poprzez całkowanie) wychodzi ze zmienne nie są niezależne. Wtedy tym bardziej nie wiem jak znaleźć gęstość w drugim punkcie.
Ja te rozkłady brzegowe liczyłem dość topornie bo całkowałem f. Czytałem że da się to chyba zrobić prościej korzystajac z macierzy kowariancji... tylko niestety nic wiecej nie znalazlem na ten temat.
Zresztą rozwiazując prosze sie nie kierowac tym co pisalem bo nie wiem na ile to ma sens.
Wektor losowy (X,Y) ma gęstość:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{\sqrt{5}}{2 \pi} e^{-\frac{1}{2}(x^2+2xy+5y^2)}}\)
1. Czy zmienne X, Y są niezależne.
2. Wynaczyć gęstość wektora \(\displaystyle{ (U,V)}\), gdzie \(\displaystyle{ U=X+Y, V=X-Y}\).
3. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \rho(U,V)}\)
Pierwsze co zauważyłem to całkując f po całej płaszczyźnie nie otrzymałem jako wyniku jedynki... czyli ta funkcja wyglada że wcale nie jest gęstością. Natomiast nawet jeśli ją poprawiam tak aby całka wynosiła 1 (zmieniam stałą przed e na \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi}}\)) to licząc rozkłady brzegowe (poprzez całkowanie) wychodzi ze zmienne nie są niezależne. Wtedy tym bardziej nie wiem jak znaleźć gęstość w drugim punkcie.
Ja te rozkłady brzegowe liczyłem dość topornie bo całkowałem f. Czytałem że da się to chyba zrobić prościej korzystajac z macierzy kowariancji... tylko niestety nic wiecej nie znalazlem na ten temat.
Zresztą rozwiazując prosze sie nie kierowac tym co pisalem bo nie wiem na ile to ma sens.