Znajdź gęstość rozkładu

[legolas]

\(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny \(\displaystyle{ U(0,1)}\). Znajdź gęstość rozkładu \(\displaystyle{ X=\left( 1-U\right) ^{- \frac{1}{n-1} }}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\). Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) istnieje \(\displaystyle{ \EE X}\)?

\(\displaystyle{ f_U(u) = \begin{cases} 1 &\text{ dla } u \in \left[ 0;1\right] \\ 0 & \text{ dla p.p.} \end{cases}}\)

I pewnie następnie

\(\displaystyle{ F_X\left( t\right)= \PP\left( X \le t \right) = \PP\left( \left( 1-U\right)^{-\frac{1}{n-1}} \le t\right)}\)

I co teraz zrobić? Z rysowaniem tego kompletnie mi nie wychodzi mi to

[Premislav]

Zauważmy, że gdy \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), to z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) mamy \(\displaystyle{ 1-U \in (0,1)}\), więc także z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ (1-U)^{-\frac{1}{n-1}}>1}\), to tak dla uproszczenia. Dalej:
\(\displaystyle{ F_{X}(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla }t\le 1 \\ \mathbf{P}\left( 1-U \ge t^{1-n}\right) \text{ dla }t>1 \end{cases}=\\= \begin{cases} 0 \text{ dla }t\le 1 \\ \mathbf{P}\left( U \le 1-t^{1-n}\right) \text{ dla }t>1\end{cases}}\)

Wstawiasz do wzoru na dystrybuantę rozkładu jednostajnego, różniczkujesz po \(\displaystyle{ t}\) i voila, masz gęstość. Z wartością oczekiwaną chyba sobie dasz radę...

[kalwi]

Czyli po prostu

\(\displaystyle{ F_U(t) = \PP\left( U\le t\right) = \begin{cases} 0 &\text { dla } t< 0 \\ \frac{t-0}{1-0}=t &\text {dla } 0\le t < 1 \\ 1 &\text{ dla } t \ge 1 \end{cases}}\)

No i podstawiając za to "t" to wyrażenie

\(\displaystyle{ F_X\left( t\right)= \PP \left( U \le 1-t^{1-n}\right) = \begin{cases} 0 &\text { dla } 1-t^{1-n}< 0 \\ 1-t^{1-n} &\text {dla } 0\le 1-t^{1-n} < 1 \\ 1 &\text{ dla } 1-t^{1-n} \ge 1 \end{cases}}\)

tak?

[Premislav]

W sumie tak. Pozostało trochę szczegółów, trzeba poprzekształcać nierówności (bo w takiej formie tego zostawić nie można, jeśli chcemy wydobyć gęstość rozkładu), ja je ominąłem w zasadzie pisząc to:

Zauważmy, że gdy \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), to z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) mamy \(\displaystyle{ 1-U \in (0,1)}\), więc także z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ (1-U)^{-\frac{1}{n-1}}>1}\)

W ten sposób od razu unikamy potrzeby rozpatrywania \(\displaystyle{ t\le 1}\).

Podsumowując, powinna wyjść taka dystrybuanta:
\(\displaystyle{ F_X(t)= \begin{cases} 0 \text{ dla }t \le 1 \\ 1-t^{1-n} \text{ dla }t>1 \end{cases}}\)

(pamiętajmy, że \(\displaystyle{ n>1}\)).