Handlarz dziełami sztuki otrzymał przesyłkę z zagranicy zawierającą pięć starych obrazów.
Z doświadczenia wie on, że prawdopodobieństwo, że \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4}\) i \(\displaystyle{ 5}\) z tych obrazów będzie falsyfikatami wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 0,76,\ 0,09,\ 0,02,\ 0,01,\ 0,02}\) i \(\displaystyle{ 0,10}\). Koszty badania autentyczności są bardzo wysokie, więc handlarz zdecydował się wybrać losowo jeden obraz z pięciu i wysłać go na badanie. Okazało się, że wybrany obraz jest falsyfikatem. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo, że wszystkie pozostałe obrazy są falsyfikatami?
Handlarz obrazami
-
Asiulla
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 25 lis 2016, o 14:24
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 4 razy
Handlarz obrazami
Ostatnio zmieniony 12 gru 2016, o 20:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Handlarz obrazami
Oznaczenia zdarzeń:
\(\displaystyle{ F_{i}, \ \ i= 0,1,2, 3, 4, 5 - i}\) obrazów okazało się falsyfikatami.
\(\displaystyle{ F}\) - wylosowany obraz okazał się falsyfikatem.
Z treści zadania:
\(\displaystyle{ P(F_{0})= 0,76, \ \ P(F_{1}) = 0,09, \ \ P(F_{2}) = 0,02, \ \ P(F_{3}) = 0,01, \ \ P(F_{4})= 0,02, \ \ P(F_{5}) = 0,10.}\)
\(\displaystyle{ P(F|F_{0}) = 0,00, \ \ P(F|F_{1})= 0,20, \ \ P(F|F_{2})= 0,40, P(F|F_{3})= 0,60, \ \ P(F|F_{4}) = 0,80, \ \ P(F|F_{5}) = 1,00.}\)
Ze wzoru pastora Thomasa Bayesa:
\(\displaystyle{ P(F_{4}| F) = \frac{P(F_{4} \cap F)}{P(F)}= \frac{P(F_{4})\cdot P(F|F_{4})}{\sum_{i=0}^{5}P(F_{i})P(F | F_{i})}.}\)
Po podstawieniu wartości liczbowych prawdopodobieństw:
\(\displaystyle{ P(F_{4}|F) = \frac{0,02\cdot 0,80}{0,00\cdot 0,76 + 0,09\cdot 0,20+ 0,02\cdot 0,40+ 0,01\cdot 0,60 + 0,02 \cdot 0,80 + 0,10\cdot 1,00} \approx 0,11}\)
Program R
Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa
Należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 11\%}\) ogólnej liczby wyników, jeżeli wysłany do badania obraz okazał się falsyfikatem, to pozostałe cztery obrazy też będą falsyfikatami.
\(\displaystyle{ F_{i}, \ \ i= 0,1,2, 3, 4, 5 - i}\) obrazów okazało się falsyfikatami.
\(\displaystyle{ F}\) - wylosowany obraz okazał się falsyfikatem.
Z treści zadania:
\(\displaystyle{ P(F_{0})= 0,76, \ \ P(F_{1}) = 0,09, \ \ P(F_{2}) = 0,02, \ \ P(F_{3}) = 0,01, \ \ P(F_{4})= 0,02, \ \ P(F_{5}) = 0,10.}\)
\(\displaystyle{ P(F|F_{0}) = 0,00, \ \ P(F|F_{1})= 0,20, \ \ P(F|F_{2})= 0,40, P(F|F_{3})= 0,60, \ \ P(F|F_{4}) = 0,80, \ \ P(F|F_{5}) = 1,00.}\)
Ze wzoru pastora Thomasa Bayesa:
\(\displaystyle{ P(F_{4}| F) = \frac{P(F_{4} \cap F)}{P(F)}= \frac{P(F_{4})\cdot P(F|F_{4})}{\sum_{i=0}^{5}P(F_{i})P(F | F_{i})}.}\)
Po podstawieniu wartości liczbowych prawdopodobieństw:
\(\displaystyle{ P(F_{4}|F) = \frac{0,02\cdot 0,80}{0,00\cdot 0,76 + 0,09\cdot 0,20+ 0,02\cdot 0,40+ 0,01\cdot 0,60 + 0,02 \cdot 0,80 + 0,10\cdot 1,00} \approx 0,11}\)
Program R
Kod: Zaznacz cały
> 0.8*0.02/(0.00* 0.76+0.09*0.2+0.02*0.4+0.01*0.6+0.02*0.8+0.1*1.00)
[1] 0.1081081
Należy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 11\%}\) ogólnej liczby wyników, jeżeli wysłany do badania obraz okazał się falsyfikatem, to pozostałe cztery obrazy też będą falsyfikatami.