Korelacja wektora

[wik a]

Obliczyć korelację wektora losowego \(\displaystyle{ \left( \xi , \eta \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ \xi= \sin \left(2 \cdot \pi \cdot X \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \eta = \cos \left(2 \cdot \pi \cdot X \right)}\) jeżeli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ \left[ -1,1 \right]}\) Bardzo proszę o pomoc, jak policzyć wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \xi}\)? Nie wiem jak to zrobić z tymi funkcjami trygonometrycznymi.

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{E}[\xi]= \int_{-1}^{1} \frac{1}{2}\sin(2\pi x) \,\dd x}\)

Ogólnie dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie absolutnie ciągłym z gęstością \(\displaystyle{ f(x)}\)
i dowolnej funkcji borelowskiej \(\displaystyle{ g}\) mamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[g(X)]= \int_{\RR}^{}g(x)\cdot f(x) \,\dd x}\)
Np. w powyższej sytuacji \(\displaystyle{ g(t)=\sin(2\pi t)}\) oraz
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac 1 2 \text{ gdy } x \in [-1;1]\\ 0 \text{ gdy } x\notin[-1,1]\end{cases}}\)-- 12 gru 2016, o 17:58 --Analogicznie masz:
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[\eta]= \int_{-1}^{1}\frac 1 2\cos(2\pi x) \,\dd x}\)

[wik a]

Dziękuję, to jeszcze jak w takim przypadku będą wyglądały wzory na wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \xi^2}\) oraz wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ \xi \cdot \eta}\)?

[Premislav]

No analogicznie, będziesz tam miała kolejno złożenie funkcji i iloczyn funkcji.

\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ \xi^2\right]= \int_{-1}^{1}\frac 1 2 \sin^2(2\pi x) \,\dd x}\)
oraz
\(\displaystyle{ \mathbf{E}\left[ \xi \eta\right]= \int_{-1}^{1}\frac 1 2 \sin(2\pi x)\cos(2\pi x) \,\dd x}\)

[wik a]

Dziękuję bardzo