Gramy \(\displaystyle{ n\in \NN}\) krotnie w grę, w które prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu wynosi \(\displaystyle{ p\in\left( 0;1\right)}\) (kolejne tury są niezależne). Kasyno wypłaca nam za \(\displaystyle{ k}\) sukcesów \(\displaystyle{ 2^k}\)zł. Oblicz wartość oczekiwaną oraz wariancję wygranej.
Jak to ruszyć?
Wyznacz wartość oczekiwaną
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Wyznacz wartość oczekiwaną
Za pomocą schematu Bernoulliego.
Niech \(\displaystyle{ X}\) - liczba sukcesów. Wówczas mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}=\mathbf{P}(wygrana=2^k)}\)
Zatem wartość oczekiwana wygranej to będzie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} 2^k p^{k}(1-p)^{n-k}}\), a wariancję sobie policz analogicznie...
-- 12 gru 2016, o 00:33 --
Ogólnie dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie dyskretnym \(\displaystyle{ (x_i,p_i)}\), gdzie
\(\displaystyle{ p_i=\mathbf{P}(X=x_i), \sum_{}^{} p_i=1}\) i funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ g}\), mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[g(X)]= \sum_{i \in I}^{}p_i g(x_i)}\)
Niech \(\displaystyle{ X}\) - liczba sukcesów. Wówczas mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}=\mathbf{P}(wygrana=2^k)}\)
Zatem wartość oczekiwana wygranej to będzie
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} 2^k p^{k}(1-p)^{n-k}}\), a wariancję sobie policz analogicznie...
-- 12 gru 2016, o 00:33 --
Ogólnie dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie dyskretnym \(\displaystyle{ (x_i,p_i)}\), gdzie
\(\displaystyle{ p_i=\mathbf{P}(X=x_i), \sum_{}^{} p_i=1}\) i funkcji mierzalnej \(\displaystyle{ g}\), mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[g(X)]= \sum_{i \in I}^{}p_i g(x_i)}\)
-
legolas
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 3 razy
Wyznacz wartość oczekiwaną
Tak się zastanawiałem parę min co się stało z tym dwumianem
Ok, to w ramach upewnienia się:
\(\displaystyle{ \text{Var}\left( k\right) =\EE\left( k^2\right)-\EE^2\left( k\right)=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} 4^k p^{k}(1-p)^{n-k}-\sum_{k=0}^{n}\left( {n \choose k} 2^k p^{k}(1-p)^{n-k}\right)^2}\)
no i można to wrzucić pod jedną sumę...
Ok, to w ramach upewnienia się:
\(\displaystyle{ \text{Var}\left( k\right) =\EE\left( k^2\right)-\EE^2\left( k\right)=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k} 4^k p^{k}(1-p)^{n-k}-\sum_{k=0}^{n}\left( {n \choose k} 2^k p^{k}(1-p)^{n-k}\right)^2}\)
no i można to wrzucić pod jedną sumę...
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Wyznacz wartość oczekiwaną
Pisanie \(\displaystyle{ Var(k)}\) na pewno nie jest dobrym pomysłem, bo \(\displaystyle{ k}\) to indeksy Twojej sumy. Poza tym pomyliłeś w jednym miejscu rozstawienie nawiasów, powinno być
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} 4^k p^{k}(1-p)^{n-k}-\left( \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} 2^k p^{k}(1-p)^{n-k}\right)^2}\)-- 12 gru 2016, o 01:19 --A z dwumianem Newtona to oczywiście był mój błąd, ale zdążyłem poprawić.
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} 4^k p^{k}(1-p)^{n-k}-\left( \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} 2^k p^{k}(1-p)^{n-k}\right)^2}\)-- 12 gru 2016, o 01:19 --A z dwumianem Newtona to oczywiście był mój błąd, ale zdążyłem poprawić.
-
legolas
- Użytkownik
- Posty: 320
- Rejestracja: 7 cze 2016, o 02:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 3 razy
Wyznacz wartość oczekiwaną
Swoją drogą, czy tam nie powinno być \(\displaystyle{ k=1}\) na dole? Bo tak to by wynikało z tego, że będziemy mieć \(\displaystyle{ n+1}\) prób (tj. pytanie czy bierzemy pod uwagę brak prób)? Tak jest np. tu:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikibooks.org/wiki/Statystyka_matematyczna/Twierdzenie_o_rozk%C5%82adzie_Bernoulliego-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Wyznacz wartość oczekiwaną
Nie, nie powinno być. Nie chodzi o brak prób, tylko o brak sukcesów. Mamy \(\displaystyle{ n}\) prób, ale \(\displaystyle{ n+1}\) różnych możliwych ilości sukcesów: od zera (gdy np. rzucamy \(\displaystyle{ n}\) razy monetą, uznając wypadnięcie orła za sukces i \(\displaystyle{ n}\) razy wypadnie reszka) do \(\displaystyle{ n}\).
A co do tej wzmiankowanej strony, to racz zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}{n \choose k} k p^{k}(1-p)^{n-k}}\),
bo pierwszy wyraz sumy po lewej jest równy zero. Zauważ też, że wartość oczekiwaną kwadratu liczby trafień liczą już od zera (choć to akurat tam nie ma różnicy).
A co do tej wzmiankowanej strony, to racz zauważyć, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}k p^{k}(1-p)^{n-k}=\sum_{k=1}^{n}{n \choose k} k p^{k}(1-p)^{n-k}}\),
bo pierwszy wyraz sumy po lewej jest równy zero. Zauważ też, że wartość oczekiwaną kwadratu liczby trafień liczą już od zera (choć to akurat tam nie ma różnicy).