Centralne Twierdzenie Graniczne

[blade]

Waga pasażerów jest zmienną losową o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ m_1=70kg}\) i odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ \sigma_1=8kg}\). Całkowity ciężar bagażu też jest zmienną losową niezależną od pierwszej, o średniej \(\displaystyle{ m_2=21kg}\) i odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ \sigma_2=5kg}\).
Zakładając, że wszystkie te zmienne są niezależne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że 292 osoby razem z bagażem nie ważą więcej niż \(\displaystyle{ 26500kg}\).

W temacie napisałem CTG, ale nie jestem do końca pewien, że to zadanie sprowadza się do użycia centralnego twierdzenia granicznego.

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ X_i}\) - waga i-tego pasażera, \(\displaystyle{ EX_i = 70}\), odchylenie chyba nas nie interesuje, ale wariancja już tak, zatem \(\displaystyle{ \sigma_1^2 = 64}\).
\(\displaystyle{ Y_i}\) - waga i-tego bagażu, \(\displaystyle{ EY_i=21}\), \(\displaystyle{ \sigma_2^2 = 25}\).
Potrzebujemy znaleźć \(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{292} X_i+Y_i\le 26500)}\)

Skoro \(\displaystyle{ X_i,Y_i}\) są niezależne to mogę je rozbić, w ten sposób:
\(\displaystyle{ P(\sum_{i=1}^{292}X_i\le G_1)P(\sum_{i=1}^{292}Y_i\le G_2)}\)
Później do każdego czynnika zastosować CTG na znanych \(\displaystyle{ m_1,m_2,\sigma_1,\sigma_2}\).
Tylko jak powinno wyglądać \(\displaystyle{ G_1,G_2}\) wtedy?
A może moje myślenie jest całkowicie złe?
Proszę o jakieś wskazówki, pomoc.
Z góry dzięki.

-- 29 lis 2016, o 19:36 --

Może w ten sposób:
\(\displaystyle{ P\left(\frac{\sum_{i=1}^{292}X_i+Y_i - 292\cdot(70+21)}{\sqrt{292}(8+5)}\le \frac{26500-292\cdot 91}{\sqrt{292}\cdot 13}\right) \sim \Phi(-0,32)=\\=1-\Phi(0,32)=0,37448}\)
Czy to jest ok?

[Premislav]

odchylenie chyba nas nie interesuje, ale wariancja już tak

A nie ma w tym pewnej sprzeczności, skoro to drugie to kwadrat pierwszego? ( ͡° ͜ʖ ͡°)

Ten pierwszy sposób to jakieś dziwne kombinowanie, nie rozumiem, co tu próbujesz zrobić.

Natomiast to, co dodałeś o 19:36 jest OK co do idei, tylko że skoro odchylenia są \(\displaystyle{ 8}\) i \(\displaystyle{ 5}\), to odchylenie standardowe \(\displaystyle{ Z_i=X_i+Y_i}\) wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt{89}}\), a to nie jest \(\displaystyle{ 13}\).
Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych to suma ich wariancji, więc odchylenie standardowe sumy niezależnych to pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów odchyleń (czyli z sumy wariancji), więc w mianowniku powinno być \(\displaystyle{ \sqrt{292} \cdot \sqrt{89}}\).

[blade]

Racja!
Dzięki za odpowiedź!