Rozkład zmiennej oznaczającej odległość od środka koła

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Mat09
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 cze 2016, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Rozkład zmiennej oznaczającej odległość od środka koła

Post autor: Mat09 »

Witam,

Z koła o promieniu \(\displaystyle{ R}\) losujemy punkt. Niech \(\displaystyle{ X}\)oznacza odległość tego punktu od środka koła. Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X^2}\)

Zrobiłem tak \(\displaystyle{ F _{x} (t)= \begin{cases} 0, t \le 0 \\ \ \frac{\pi t^2}{ \pi R^2} , 0<t \le R \\ 1, t>R \end{cases}}\),

potem licząc \(\displaystyle{ F _{y} (t)=P(X \le \sqrt{t} ) = \begin{cases} 0, t \le 0 \\ \frac{t}{R^2}, 0<t<R^2 \\ 1, t>R^2 \end{cases}}\) .

Przekształcając założyłem, że \(\displaystyle{ t,x>0}\) i stąd otrzymałem taką dystrybuantę \(\displaystyle{ F _{y} (t)}\). Czy to zadanie jest dobrze zrobione. Proszę o uwagi. Dzięki

Czy mogę przyjąć takie założenie, żeby właśnie wyrazić \(\displaystyle{ F _{y}}\) w łatwy sposób od zmiennej \(\displaystyle{ X}\)?
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Rozkład zmiennej oznaczającej odległość od środka koła

Post autor: Premislav »

Jest dobrze. Można też jeszcze policzyć gęstość rozkładu zmienne losowej \(\displaystyle{ X^2}\).
Mat09
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 cze 2016, o 10:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Rozkład zmiennej oznaczającej odległość od środka koła

Post autor: Mat09 »

A czy to że mogę przyjąć \(\displaystyle{ t,x>0}\) wynika z tego, że \(\displaystyle{ \frac{ \pi t^2}{ \pi R^2}}\) jest określone dla \(\displaystyle{ 0<t \le R}\), bo ja to właśnie stąd wziąłem i się zastanawiam czy wszystko ok
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Rozkład zmiennej oznaczającej odległość od środka koła

Post autor: Premislav »

\(\displaystyle{ \frac{ \pi t^2}{ \pi R^2}}\) jest określone dla każdego \(\displaystyle{ t}\) rzeczywistego, natomiast tu raczej chodzi o coś trochę innego. \(\displaystyle{ X}\) to zmienna losowa opisująca odległość, więc jako taka jest nieujemna. No i nie przyjmujesz, że \(\displaystyle{ t>0}\), tylko rozważasz, co się dzieje dla \(\displaystyle{ t \le 0}\)
(wtedy oczywiście \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X^2 \le t)=0}\)), a co dla większych.
ODPOWIEDZ