Witam,
zadanie brzmi:
Zmienna losowa X ma rozkład z gęstością \(\displaystyle{ g(x) = \frac{1}{2}x * _{1}[0,2](x).}\) Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ Y = min\left\{X-1,0 \right\}}\). Czy ma on gęstość?
Doszedłem do momentu \(\displaystyle{ F _{y}(t) =P(X \le t+1 \vee t \ge 0)}\). Z związku z tym otrzymałem 2 dystrybuanty:
1.
\(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ t < -1}\)
\(\displaystyle{ \frac{(t+1)^2}{4}, t \in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ t > 1}\)
2.
\(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ t < 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{t^2}{4}, t \in [0,2]}\)
\(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ t > 1}\)
Jak ustalić jedną dystrybuantę, bo moim zdaniem one się nie pokrywają, a może dwie są dobre?
Rozkład zmiennej funkcji minimum
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Rozkład zmiennej funkcji minimum
Zdecydowanie nie mogą wyjść dwie dystrybuanty.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le t)=\mathbf{P}(\min \left\{X-1,0\right\} \le t)=1-\mathbf{P}(\min \left\{X-1,0\right\}>t)=\\=1-\mathbf{P}(X-1 >t, 0>t)}\)
Rozważamy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ \textbf{1}^{\circ}}\) niech \(\displaystyle{ 0>t}\). Wówczas mamy
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}(X-1 >t, 0>t)=1-\mathbf{P}(X-1>t)=\mathbf{P}(X \le t+1)=\\= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t \le -1 \\ \frac{(t+1)^2}{4} \text{ gdy }t \in (-1,0) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \textbf{2}^{\circ}}\) niech \(\displaystyle{ t \ge 0}\): wówczas
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}(X -1>t, 0>t)=1}\), gdyż \(\displaystyle{ \mathbf{P}(0>t)=0}\).
Zatem ostatecznie dystrybuanta \(\displaystyle{ Y}\) wygląda tak:
\(\displaystyle{ F_Y(t)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t \le -1\\ \frac{(t+1)^2}{4} \text{ gdy }t \in (-1,0) \\ 1 \text{ gdy }t \ge 0\end{cases}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=0)>0}\), to nie istnieje gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\).
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le t)=\mathbf{P}(\min \left\{X-1,0\right\} \le t)=1-\mathbf{P}(\min \left\{X-1,0\right\}>t)=\\=1-\mathbf{P}(X-1 >t, 0>t)}\)
Rozważamy dwa przypadki:
\(\displaystyle{ \textbf{1}^{\circ}}\) niech \(\displaystyle{ 0>t}\). Wówczas mamy
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}(X-1 >t, 0>t)=1-\mathbf{P}(X-1>t)=\mathbf{P}(X \le t+1)=\\= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t \le -1 \\ \frac{(t+1)^2}{4} \text{ gdy }t \in (-1,0) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \textbf{2}^{\circ}}\) niech \(\displaystyle{ t \ge 0}\): wówczas
\(\displaystyle{ 1-\mathbf{P}(X -1>t, 0>t)=1}\), gdyż \(\displaystyle{ \mathbf{P}(0>t)=0}\).
Zatem ostatecznie dystrybuanta \(\displaystyle{ Y}\) wygląda tak:
\(\displaystyle{ F_Y(t)= \begin{cases} 0 \text{ gdy } t \le -1\\ \frac{(t+1)^2}{4} \text{ gdy }t \in (-1,0) \\ 1 \text{ gdy }t \ge 0\end{cases}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=0)>0}\), to nie istnieje gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\).
-
Mat09
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 10 cze 2016, o 10:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 5 razy
Rozkład zmiennej funkcji minimum
Dzięki za pomoc
Zmienna losowa ma gęstość wtedy kiedy dystrybuanta jest ciągła i można ją zróżniczkować, czyli jeśli policzę pochodne w tym przypadku w punkcie -\(\displaystyle{ 1}\) i z obydwu równań dostanę tą samą wartość i potem w punkcie z \(\displaystyle{ 0}\) i jeśli dostałbym tą samą wartość w obu równaniach to wtedy byłaby ciągła i istniała by gęstość. Dobrze to rozumiem?
Zmienna losowa ma gęstość wtedy kiedy dystrybuanta jest ciągła i można ją zróżniczkować, czyli jeśli policzę pochodne w tym przypadku w punkcie -\(\displaystyle{ 1}\) i z obydwu równań dostanę tą samą wartość i potem w punkcie z \(\displaystyle{ 0}\) i jeśli dostałbym tą samą wartość w obu równaniach to wtedy byłaby ciągła i istniała by gęstość. Dobrze to rozumiem?