Znajdź rozkład

[legolas]

Wybieramy losowo \(\displaystyle{ n}\) punktów z odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0,\Beta\right]}\). Niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie liczbą punktów, które wpadły do odcinka \(\displaystyle{ \left[ 0;\alpha\right] , \ \alpha < \beta}\). Znajdź rozkład \(\displaystyle{ Y}\).
Czy to powinno iść w ten sposób?

\(\displaystyle{ \PP\left( Y\right) =\PP\left( A\right) ^k\cdot\PP\left( A'\right) ^{n-k}}\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\) - punkt wpadł do przedziału \(\displaystyle{ \(\displaystyle{ \left[ 0;\alpha\right]}\)

a \(\displaystyle{ k}\) - ilość punktów, które wpadły do tego przedziału. Czy tu nie trzeba dać jeszcze \(\displaystyle{ n}\) po \(\displaystyle{ k}\), czyli że wybieramy \(\displaystyle{ k}\) punktów z \(\displaystyle{ n}\) punktów?}\)

[Premislav]

Prawdopodobieństwo, że konkretny punkt wpadnie do odcinka \(\displaystyle{ [0,\alpha]}\) jest równe
\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{\beta}}\)
To daje rozkład dwumianowy z parametrami \(\displaystyle{ n, p= \frac{\alpha}{\beta}}\), więc właśnie powinny być jeszcze te \(\displaystyle{ {n \choose k}}\).

Aha, zapis \(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y)}\) jest błędny. \(\displaystyle{ Y}\) nie jest zdarzeniem, tylko zmienną losową.