Odcinek o długości \(\displaystyle{ 1}\) podzielono losowo na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z tych odcinków da się zbudować trójkąt:
a) ostrokątny
b) rozwartokątny
c) prostokątny?
Prawdopodobieństwo geometryczne
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Prawdopodobieństwo geometryczne
Wersja I.
Odcinki to x,y,z , gdzie \(\displaystyle{ (0 \le x \le 1) \wedge (0 \le y \le 1) \wedge (0 \le z \le 1) \wedge x+y+z=1}\)
W przestrzeni XYZ jest to trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\) o polu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Aby odcinki tworzyły trójkąt to \(\displaystyle{ x+y>z \wedge x+z>y \wedge y+z>x}\) co daje trójkąt (bez brzegu) o wierzchołkach \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2},0), ( \frac{1}{2},0, \frac{1}{2}), (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\) i polu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{8}}\)
Dla trójkąta prostokątnego zachodzi \(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2 \vee x^2+z^2=y^2 \vee z^2+y^2=x^2}\)
Stożki te dają łuki miedzy wierzchołkami \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2},0), ( \frac{1}{2},0, \frac{1}{2}), (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\). Obszar wewnętrzny trójkąta (podobny do deltoidy) to punkty których współrzędne tworzą trójkąty ostrokątne, a trzy obszary odcięte łukami zawierają punkty których współrzędne tworzą trójkąty rozwartokątne.
Pozostaje policzyć pole jednego z tych trzech obszarów a prawdopodobieństwa nie będą problemem.
Np. pole z \(\displaystyle{ z=1-x-y}\) ograniczone płaszczyzną \(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}}\) i stożkiem \(\displaystyle{ z= \sqrt{x^2+y^2}}\). Ciekawe jak to się liczy?
Wersja II.
Niech bokami trójkąta będą: \(\displaystyle{ x,y,z=1-x-y}\). Ograniczenia: \(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge y \ge 0 \wedge 1-x-y \ge 0}\) dają trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(1,0),(0,1)}\) i polu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) . Aby istniał trójkąt to muszą zachodzić warunki \(\displaystyle{ x+y>z \wedge x+z>y \wedge y+z>x}\) czyli \(\displaystyle{ x+y>1-x-y \wedge x+1-x-y>y \wedge y+1-x-y>x}\) czyli \(\displaystyle{ x+y> \frac{1}{2} \wedge \frac{1}{2}>y \wedge \frac{1}{2}>x}\) co daje trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},0),(0,\frac{1}{2})}\) i polu \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\). Trójkąt ten przecinają łuki krzywych których współrzędne tworzą trójkąt prostokątny:
1)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=(1-x-y)^2\\
y= \frac{ \frac{1}{2} }{x-1}+1}\)
2)
\(\displaystyle{ x^2+(1-x-y)^2=y^2\\
y= -x-\frac{ \frac{1}{2} }{x-1}}\)
3)
\(\displaystyle{ y^2+(1-x-y)^2=x^2\\
x= -y-\frac{ \frac{1}{2} }{y-1}}\)
Ponieważ obszar punktów których współrzędne tworzą trójkąty ostrokątne jest symetryczny względem \(\displaystyle{ y=x}\) to całka na połowę jego pola ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}P_o= \int_{0}^{ \frac{2- \sqrt{2} }{2} }\left[ \left( -x-\frac{ \frac{1}{2} }{x-1}\right)-\left(\frac{ \frac{1}{2} }{x-1}+1\right) \right] \mbox{d}x + \int_{\frac{2- \sqrt{2} }{2}}^{\frac{1 }{2}}\left[ \left( -x-\frac{ \frac{1}{2} }{x-1} \right)-(x) \right] \mbox{d}x=.....}\)
a)
\(\displaystyle{ P(a)= \frac{P_o}{ \frac{1}{2} }=...}\)
b)
\(\displaystyle{ P(b)= \frac{ \frac{1}{8}- P_o}{ \frac{1}{2} }=...}\)
c)
\(\displaystyle{ P(c)= \frac{0}{ \frac{1}{2} }=0}\)
Wersja III
Tej nie znam, ale pewnie ktoś ją dopisze i pokaże jak dzięki zgrabnemu przekształceniu można policzyć to w pamięci.
Odcinki to x,y,z , gdzie \(\displaystyle{ (0 \le x \le 1) \wedge (0 \le y \le 1) \wedge (0 \le z \le 1) \wedge x+y+z=1}\)
W przestrzeni XYZ jest to trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\) o polu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
Aby odcinki tworzyły trójkąt to \(\displaystyle{ x+y>z \wedge x+z>y \wedge y+z>x}\) co daje trójkąt (bez brzegu) o wierzchołkach \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2},0), ( \frac{1}{2},0, \frac{1}{2}), (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\) i polu \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{8}}\)
Dla trójkąta prostokątnego zachodzi \(\displaystyle{ x^2+y^2=z^2 \vee x^2+z^2=y^2 \vee z^2+y^2=x^2}\)
Stożki te dają łuki miedzy wierzchołkami \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2}, \frac{1}{2},0), ( \frac{1}{2},0, \frac{1}{2}), (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})}\). Obszar wewnętrzny trójkąta (podobny do deltoidy) to punkty których współrzędne tworzą trójkąty ostrokątne, a trzy obszary odcięte łukami zawierają punkty których współrzędne tworzą trójkąty rozwartokątne.
Pozostaje policzyć pole jednego z tych trzech obszarów a prawdopodobieństwa nie będą problemem.
Np. pole z \(\displaystyle{ z=1-x-y}\) ograniczone płaszczyzną \(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}}\) i stożkiem \(\displaystyle{ z= \sqrt{x^2+y^2}}\). Ciekawe jak to się liczy?
Wersja II.
Niech bokami trójkąta będą: \(\displaystyle{ x,y,z=1-x-y}\). Ograniczenia: \(\displaystyle{ x \ge 0 \wedge y \ge 0 \wedge 1-x-y \ge 0}\) dają trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0),(1,0),(0,1)}\) i polu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) . Aby istniał trójkąt to muszą zachodzić warunki \(\displaystyle{ x+y>z \wedge x+z>y \wedge y+z>x}\) czyli \(\displaystyle{ x+y>1-x-y \wedge x+1-x-y>y \wedge y+1-x-y>x}\) czyli \(\displaystyle{ x+y> \frac{1}{2} \wedge \frac{1}{2}>y \wedge \frac{1}{2}>x}\) co daje trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{1}{2},0),(0,\frac{1}{2})}\) i polu \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\). Trójkąt ten przecinają łuki krzywych których współrzędne tworzą trójkąt prostokątny:
1)
\(\displaystyle{ x^2+y^2=(1-x-y)^2\\
y= \frac{ \frac{1}{2} }{x-1}+1}\)
2)
\(\displaystyle{ x^2+(1-x-y)^2=y^2\\
y= -x-\frac{ \frac{1}{2} }{x-1}}\)
3)
\(\displaystyle{ y^2+(1-x-y)^2=x^2\\
x= -y-\frac{ \frac{1}{2} }{y-1}}\)
Ponieważ obszar punktów których współrzędne tworzą trójkąty ostrokątne jest symetryczny względem \(\displaystyle{ y=x}\) to całka na połowę jego pola ma postać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}P_o= \int_{0}^{ \frac{2- \sqrt{2} }{2} }\left[ \left( -x-\frac{ \frac{1}{2} }{x-1}\right)-\left(\frac{ \frac{1}{2} }{x-1}+1\right) \right] \mbox{d}x + \int_{\frac{2- \sqrt{2} }{2}}^{\frac{1 }{2}}\left[ \left( -x-\frac{ \frac{1}{2} }{x-1} \right)-(x) \right] \mbox{d}x=.....}\)
a)
\(\displaystyle{ P(a)= \frac{P_o}{ \frac{1}{2} }=...}\)
b)
\(\displaystyle{ P(b)= \frac{ \frac{1}{8}- P_o}{ \frac{1}{2} }=...}\)
c)
\(\displaystyle{ P(c)= \frac{0}{ \frac{1}{2} }=0}\)
Wersja III
Tej nie znam, ale pewnie ktoś ją dopisze i pokaże jak dzięki zgrabnemu przekształceniu można policzyć to w pamięci.