Dowód z rozbiciami przestrzeni

[gremplin]

Mam dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ P(A_n)=1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ P( \cap_{n=1}^{\infty} A_n)=1}\).
Oczywiście muszę sprawdzić dwie implikacje i mam pewien problem z jedną z nich:
Jeśli \(\displaystyle{ P( \cap_{n=1}^{\infty} A_n)=1}\), to \(\displaystyle{ P(A_n)=1}\)
Z własności prawdopodobieństwa: jeśli \(\displaystyle{ A \subset B}\), to \(\displaystyle{ P(A) \le P(B)}\).
Więc dla każdego dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ P( \cap_{n=1}^{\infty} A_n) \le P(A_n)}\), bo \(\displaystyle{ \cap_{n=1}^{\infty} A_n}\) zawiera się w \(\displaystyle{ A_n}\). \(\displaystyle{ P(A_n)}\) jest zawsze mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\), zatem \(\displaystyle{ 1=P( \cap_{n=1}^{\infty} A_n) \le P(A_n) \le 1}\). Stąd \(\displaystyle{ P(A_n)=1}\), co kończy dowód.
Mam problem z tym, czy to może być cały czas to samo \(\displaystyle{ n}\). Czy w miejscu "dla każdego dowolnie ustalonego...", nie powinno być oznaczenie \(\displaystyle{ N}\), jeśli w definicji rozbicia jest \(\displaystyle{ A_n,n \in T \subset N}\)? I czy ogólnie ten dowód jest w porządku? Będę wdzięczny za pomoc, pozdrawiam.

[Premislav]

Mam dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ P(A_n)=1}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n}\), to \(\displaystyle{ P( \cap_{n=1}^{\infty} A_n)=1}\).

Oczywiście muszę sprawdzić dwie implikacje

A czy jesteś pewien, że nie pomyliłeś implikacji z równoważnością? A w Twoim pierwszym zdaniu jest mowa o implikacji (pogrubienie moje).

W każdym razie Twoje uzasadnienie faktu, że jeśli \(\displaystyle{ P\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\right)=1}\), to \(\displaystyle{ P(A_n)=1}\) jest w porządku.

[a4karo]

. \(\displaystyle{ P(A_n)}\) jest zawsze mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\),

Na pewno?

[gremplin]

. \(\displaystyle{ P(A_n)}\) jest zawsze mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\),

Na pewno?

\(\displaystyle{ P(A_n)}\) jest oczywiście z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\). Miałem napisać mniejsze bądź równe, mój błąd. O to chodzi?