prawd całkowite/warunkowe/schemat Bernoulliego

[Lyzka]

Z 40 zadań ( ) mam kilka których zrobić nie potrafię. Oto one:

\(\displaystyle{ 1}\). Z trzech pracujących niezależnie elementów urządzenia, dwa zawiodły. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że zawiodły elementy pierwszy i drugi, jeżeli prawdopodobieństwa awarii elementów pierwszego, drugiego i trzeciego, są odpowiednio równe:\(\displaystyle{ p_1=0,2}\) ; \(\displaystyle{ p_2=0,4}\) ; \(\displaystyle{ p_3=0,3}\)

\(\displaystyle{ 2}\). W dwóch pudełkach znajdują sie szpule nici. Pudełko \(\displaystyle{ I}\) zawiera \(\displaystyle{ 2}\) szpule nici białych, \(\displaystyle{ 3}\) szpule nici czarnych, pudełko \(\displaystyle{ II}\): \(\displaystyle{ 4}\) szpule nici białych i \(\displaystyle{ 1}\) szpulę nici czarnych. Z pudełka wylosowano szpulę jeden raz a potem nie wrzucając jej z powrotem -drugi raz. Wiedząc, że za drugim razem wylosowano szpulę białych nici, obliczyć prawdopodobieństwo, że pierwsza szpula była biała.

\(\displaystyle{ 3}\). Dwie urny zawierają odpowiednio \(\displaystyle{ b_1}\) i \(\displaystyle{ b_2}\) białych kul \(\displaystyle{ c_1}\) i \(\displaystyle{ c_2}\) kul czarnych. Z każdej urny wylosowano po jednej kuli, a potem wybrano losowo jedną z tych dwóch. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała?



\(\displaystyle{ 4}\). Urna zawiera \(\displaystyle{ 3}\) kule, z których każda może być biała lub czarna z jednakowym prawdopodobieństwem. Z urny wylosowano kolejno ze zwracaniem \(\displaystyle{ 4}\) kule: czarną, białą, białą, białą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w urnie były kule białe i jedna czarna. (odp. \(\displaystyle{ 0,8}\)).

\(\displaystyle{ 5}\). Z talii \(\displaystyle{ 52}\) kart losujemy \(\displaystyle{ n}\) kart \(\displaystyle{ (n<52)}\). Jedną z nich oglądamy i okazuje się, że jest to as, następnie mieszamy ją z pozostałymi wyciągniętymi. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że przy następnym losowaniu kart z tych \(\displaystyle{ n}\) kart znowu otrzymamy asa.

\(\displaystyle{ 6}\). Z urny, w której znajduje się \(\displaystyle{ 20}\) kul białych i \(\displaystyle{ 2}\) kule czarne losuje się kolejno \(\displaystyle{ n}\) kuul. Wyznaczyć najmniejsza licznę losowań \(\displaystyle{ n}\) taką, przy której prawdopodobieństwo wylosowania chociaż raz czarnej kuli jest większe od \(\displaystyle{ 0,5}\) zakładając, że przy każdym losowaniu kulę nie kładzie się z powrotem do urny.

\(\displaystyle{ 7}\). Do \(\displaystyle{ n}\) szuflad wrzucono losowo \(\displaystyle{ r}\) przedmiotów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w losowo otwartej szufladzie znajdziemy \(\displaystyle{ k}\) przedmiotów\(\displaystyle{ (0 \le k \le r)}\) zakładając, że każdy przedmiot ma taką samą szansę znalezienia się w każdej z szuflad?

\(\displaystyle{ 8.}\) Licznik Geigera-Mullera i źródło promieniowania umieszczono względem siebie tak, że prawdopodobieństwo zarejestrowania przez licznik wypromieniowanej cząsteczki wynosi \(\displaystyle{ 1:10000}\). Załóżmy, że w czasie obserwacji preparat radioaktywny wypromieniował \(\displaystyle{ 30000}\) cząstek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że licznik zarejestrował co najwyżej trzy cząstki?

\(\displaystyle{ 9}\). Sklep otrzymał towar w sześciu skrzyniach od dostawcy \(\displaystyle{ A}\) i w czterech od dostawcy \(\displaystyle{ B.}\) Jakość towaru otrzymanego od dostawcy \(\displaystyle{ A}\) w poszczególnych skrzyniach jest jednakowa i przedstawia się następująco: \(\displaystyle{ 60 \%}\) sztuk gatunku I, \(\displaystyle{ 30 \%}\) sztuk gatunku II, \(\displaystyle{ 10 \%}\) sztuk braków. Jakość towaru otrzymanego od dostawcy \(\displaystyle{ B}\) jest również jednakowa w każdej ze skrzyń i przedstawia się następująco: \(\displaystyle{ 50 \%}\) sztuk gatunku I, \(\displaystyle{ 40 \%}\) sztuk gatunku II, \(\displaystyle{ 10 \%}\) sztuk braków. Przymujący towar w sklepie pobrał losowo pięć razy po jednej sztuce, zwracając za każdym razem sztukę do skrzyni, z której była ona pobrana. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzyma on w takim losowaniu dwie sztuki I gatunku, dwie sztuki II gatunku i jedną sztukę wybrakowaną.

\(\displaystyle{ 10}\). Rozważ doświadczenie, w którym starasz się wyznaczyć liczbę czerwonych ciałek krwi poprzez liczenie ich pod mikroskopem w ustalonej, małej objętości krwi, Jeżeli dla zdrowego człowieka średnia wynosi \(\displaystyle{ 8}\) czerwonych ciałek krwi w próbce, to \(\displaystyle{ a)}\) jakie jest prawdopodobieństwom że w konkretnej próbce pochodzącej od zdrowego człowieka, zaobserwujemy tylko \(\displaystyle{ 4}\) czerwone krwinki, \(\displaystyle{ b)}\) co najwyżej \(\displaystyle{ 4}\) krwinki?

\(\displaystyle{ 11}\). W urnie znajduje sie \(\displaystyle{ 25}\) kul białych i \(\displaystyle{ 45}\) kul czarnych. Losujemy \(\displaystyle{ 20}\) razy według schematu Polya dodając po każdym losowaniu \(\displaystyle{ 2}\) kule odpowiedniego koloru. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy \(\displaystyle{ 7}\) razy kulę białą.

\(\displaystyle{ 12}\). (tu mam swoje rozwiązanie, nie wiem czy dobre) W wyniku wieloletnich doświadczeń ustalono, że w pewnej miejscowości prawdopodobieństwo opadu deszczy w dniu 16 listopada wynosi \(\displaystyle{ \frac{4}{17}}\) . Obliczyć najbardziej prawdopodobną liczbę dni deszczowych w dniu 16 listopada w okresie najbliższych pięciu lat.

\(\displaystyle{ n=5}\) (liczba doświadczeń)
\(\displaystyle{ p= \frac{4}{17}}\)

\(\displaystyle{ (n+1) \cdot p = \frac{24}{17}}\) to nie należy do \(\displaystyle{ \ZZ}\) zatem odp to \(\displaystyle{ 1}\) dzień deszczowy.

\(\displaystyle{ 13}\). (tak samo cos po swojemu zrobilam) W pewnej miejscowości rodzi się \(\displaystyle{ 520}\) chłopców i \(\displaystyle{ 480}\) dziewcząt na \(\displaystyle{ 1000}\) niemowląt. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pewnej rodzinie na trójkę dzieci liczba dziewcząt nie jest większa od dwóch.

\(\displaystyle{ C}\)- chłopcy \(\displaystyle{ D}\)-dziewczyny
\(\displaystyle{ P(C)= \frac{520}{1000}}\)
\(\displaystyle{ P(D)= \frac{480}{1000}}\)
\(\displaystyle{ 1-P_{3,0}= 1-{3 \choose 0} \cdot \frac{12}{25} \cdot (1- \frac{12}{25} )^3 \approx 0,595}\)

Z góry dzięki za jakąkolwiek pomoc

[Mruczek]

Jeżeli liczysz, że ktoś rozwiąże tutaj wszystkie te zadania, to się grubo mylisz.
Powinnaś przynajmniej spróbować podać swoje rozwiązania do większości zadań.

12) Nie wiem skąd wzięłaś \(\displaystyle{ n + 1}\). To co policzyłaś to jest średnia liczba dni deszczowych - wartość oczekiwana, czyli nie to o co Cię proszono. Trzeba policzyć dla każdej możliwej ilości dni deszczowych (zero dni, jeden itd.) prawdopodobieństwo że tyle dni właśnie będzie. Tutaj należy wykorzystać schemat Bernoulliego. Następnie wybierasz tą wartość dla której prawdopodobieństwo jest największe.

13) Błąd obliczeniowy, powinno być:
\(\displaystyle{ 1-P_{3,0}= 1-{3 \choose 0} \cdot \left( \frac{12}{25}\right) ^3 \cdot \left( 1- \frac{12}{25}\right) ^0}\)
Przy czym \(\displaystyle{ P_{3,0}}\) to prawdopodobieństwo, że urodzą się trzy dziewczynki.

[Lyzka]

1. Gdybym umiała to bym wstawiła. Zawsze to robię. Proszę nie wrzucać wszystkich do jednego worka...
2. Zwykły pomysł tez może wiele pomóc...

[miodzio1988]

1. Czekamy zatem na propozycje Twoich rozwiązań, bo już jest to 3 lista zadan, ktore wrzucasz, a na poprzedniej liście:

412639.htm#p5453961

Nawet nie raczyłaś odpowiedzieć na post Premislava, nie raczyłaś nic z tym zrobić. Więcej czasu zajmuje Ci przepisanie tego niż próby rozwiązań zapewne.

2. Ok, weź się za robotę, a nie wyręczasz się nami. Rozumiem wrzucić jedno zadanie albo dwa, ale nie prawie 40 (wszystkie wrzuciłaś które miałaś zapewne do zrobienia co jest komiczne) w ciągu tygodnia.

[Lyzka]

1. Czekamy zatem na propozycje Twoich rozwiązań, bo już jest to 3 lista zadan, ktore wrzucasz, a na poprzedniej liście:

412639.htm#p5453961

Nawet nie raczyłaś odpowiedzieć na post Premislava, nie raczyłaś nic z tym zrobić. Więcej czasu zajmuje Ci przepisanie tego niż próby rozwiązań zapewne.

2. Ok, weź się za robotę, a nie wyręczasz się nami. Rozumiem wrzucić jedno zadanie albo dwa, ale nie prawie 40 (wszystkie wrzuciłaś które miałaś zapewne do zrobienia co jest komiczne) w ciągu tygodnia.

1-2. Mylisz się. Przepisanie to moment. Mam 4 listy z każdej po 40 zadań. Nie muszę się tłumaczyć dlaczego nie zrobiłam tego wcześniej, bo to moje prywatne sprawy i problemy z których zwierzać się nie muszę. Nie, nie było to kwestia lenistwa.
Z każdej listy robię tyle ile umiem, resztę wstawiam tu. Kontynuuje zadania z każdej listy po kolei, a do tych co nie umiem wracam na koniec. Znowu ujawnia się wrzucanie do jednego worka.

W dwóch ostatnich zadaniach zamieściłam to co zrobiłam. Do pozostałych powtarzam jeszcze raz nawet nie wiedziałam jak się zabrać.

I nie oczekuję gotowych odpowiedzi. Jakaś zwykła sugestia może pomóc...

[miodzio1988]

Coś pisałem:

Czekamy zatem na propozycje Twoich rozwiązań, bo już jest to 3 lista zadan, ktore wrzucasz, a na poprzedniej liście:

Bez tego nie licz na pomoc

Druga sprawa: jest to lenistwo, bo można znaleźć rozwiązania niektórych zadań Twoich nawet przez forum. Więc niby jak to mamy nazywać?

Instrukcje dostałaś, czekamy na efekty

[Lyzka]

Powtarzasz się Ty, powtórzę się i ja.
1. Jak mam zrobić zadania za które nie wiem jak się zabrać? Wypisanie wzorów jest bez sensu bo każdy je zna. Z resztą nie wiem które zastosować.
2. Mam 4 listy. 2 posty (nie 3) z prawdopodobieństwa, bo dwie listy robiłam.

Nie, nie jest to lenistwo. Miałam problemy osobiste i nie mogłam zrobić tych list wcześniej.

Proszę sprawdzić moje pozostałe posty. Tam gdzie umiem zawsze wstawiam swoje próby.

[miodzio1988]

Powtarzasz się Ty, powtórzę się i ja.

Ty masz problem, nie ja, trać czas innych to na pewno będą ludzie Ci pomagać.

1. Jak mam zrobić zadania za które nie wiem jak się zabrać? Wypisanie wzorów jest bez sensu bo każdy je zna. Z resztą nie wiem które zastosować.

Masz internet, masz książki, wykłady, ćwiczenia, konsultacje, masę masz opcji. Ty nawet nie googlujesz zadań które masz, więc to jest zwykłe lenistwo

2. Mam 4 listy. 2 posty (nie 3) z prawdopodobieństwa, bo dwie listy robiłam.

2 listy z pstwa, jedna z kombinatoryki, dwie z algebry, kolejne z analizy, przy czym z tych z analizy coś robiłaś sama. Przestałaś, kolejny dowód na lenistwo

Nie, nie jest to lenistwo. Miałam problemy osobiste i nie mogłam zrobić tych list wcześniej.

To już nie jest nasza sprawa, teraz tracisz czas, a od kilku tematów nic nie robisz, wrzucasz zadania, dostajesz wskazówki i cisza. Koniec tego, bierz się do roboty albo kończ te studia z tymi wymówkami

[Lyzka]

A i owszem ja mam problem. Po to są fora żeby móc je częściowo rozwiązać.

Ty nie wiesz czy googluje czy nie. Więc nie oceniaj. Zanim coś wstawię to zawsze sprawdzam wszystkie opcje. Wykłady ćwiczenia książki... wykorzystane było wszystko.

Analiza, algebra, prawdopodobieństwo.. a i owszem, nazbierało się tego, wstawiam to czego nie umiem, bo z reguły staram się robić wszystkie zadania. Jako, że nie mogłam ich zrobić wcześniej to narobiło mi się zaległości. I nie zawsze mam czas od razu odpowiedzieć. Jak mam czas to wracam do takich rzeczy. Nie muszę tego tłumaczyć. Ale znów wrzucasz mnie do jednego wora.

Nie mów mi czy mam rzucać studia czy nie. Bo nie wiesz o mnie nic więc w tej kwestii lepiej się nie wypowiadaj.

Zanim znowu mi coś odpiszesz przeczytaj dwa razy moją odpowiedź..

[miodzio1988]

A i owszem ja mam problem. Po to są fora żeby móc je częściowo rozwiązać.

Częściowo, nie 13 zadań na temat

Ty nie wiesz czy googluje czy nie. Więc nie oceniaj. Zanim coś wstawię to zawsze sprawdzam wszystkie opcje. Wykłady ćwiczenia książki... wykorzystane było wszystko.

Wiem, bo sam googlowałem Twoje pytania I co? Głupio Ci teraz?

Ale znów wrzucasz mnie do jednego wora.

Ciężko inaczej skoro dalej do zadań się nie odwołujesz a o to proszę . Tekst pusty jak Twoja odpowiedź w sumie

Nie mów mi czy mam rzucać studia czy nie. Bo nie wiesz o mnie nic więc w tej kwestii lepiej się nie wypowiadaj.

Zanim znowu mi coś odpiszesz przeczytaj dwa razy moją odpowiedź..

Dwa razy przeczytałem, teraz Ty dwa razy spróbuj rozwiązać te zadania i czekamy na konkrety inaczej straciłaś swój i nasz czas

Zacznij zachowywać się jak studentka, a nie uczeń podstawówki proszę

[Lyzka]

Jak na razie to Twoje wiadomości nic nie wnoszą i są "puste" jak to nazwałeś. Szanujmy się nawzajem...
Nie nie jest mi głupio. Nie znalazłam odpowiedzi na te zadania więc wstawiłam je TU. Nie wiem coś tam wynalazł.

Człeku jeden... Zrozum że jestem osobą dociekliwą. Jak mam czas to odpisuje na wszystkie posty. Od razu czy też z dłuższą przerwą, ale odpisuje.
To jak wg Cb zachowuje się student? Robię wszystkie zadania jakie mi dają. Bo chcę, to moja decyzja. Nie zawsze wiem jak, więc resztę wstawiam tu.
Nie będę się wielokrotnie powtarzać, bo się robi offtop

Nie oczekuję gotowych odpowiedzi, ale jakichś podpowiedzi w którym kierunku iść, czy z jakich wzorów skorzystać.. Nie umiem ich zrobić, nie wiem jak zacząć i tyle.

[Premislav]

AU

tumblr_ljh0puClWT1qfkt17.gif (484.13 KiB) Przejrzano 308 razy

Może by jednak wydzielić tę telenowelę? A żeby nie było off-topiku, to wrzucę jakieś trzy zadanka (choć potraktowanie mojej wypowiedzi ze wspomnianego tematu jak powietrze trochę mnie uraziło, jeżeli mam pisać po próżnicy, to wolę sobie serial obejrzeć):

1) to chyba się nazywa wzór Bayesa.
Określmy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) - zawiodły dokładnie dwa elementy (przynajmniej tak rozumiem treść), \(\displaystyle{ A_{1,2}}\) - zawiodły elementy \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2, A_{1,3}}\) - zawiodły elementy \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 3}\), \(\displaystyle{ A_{2, 3}}\) - zawiodły elementy \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\).
Wówczas mamy do obliczenia
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_{1,2}|A)= \frac{\mathbf{P}(A|A_{1,2})\mathbf{P}(A_{1,2})}{\mathbf{P}(A)}= \frac{\mathbf{P}(A|A_{1,2})\mathbf{P}(A_{1,2})}{\mathbf{P}(A|A_{1,2})\mathbf{P}(A_{1,2})+\mathbf{P}(A|A_{1,3})\mathbf{P}(A_{1,3})+\mathbf{P}(A|A_{2,3})\mathbf{P}(A_{2,3})}}\)
Policz te prawdopodobieństwa, korzystając z niezależności. Jeżeli sobie nie poradzisz, to napisz co uzyskujesz.

3) \(\displaystyle{ B}\) - wylosowana kula będzie biała, \(\displaystyle{ \text{Ą}}\) - wylosowana kula będzie z urny
o \(\displaystyle{ b_1}\) białych i \(\displaystyle{ c_1}\) czarnych kulach, \(\displaystyle{ \text{Ę}}\) - wylosowana kula będzie z urny o \(\displaystyle{ b_2}\) białych i \(\displaystyle{ c_2}\) czarnych kulach.
Wtedy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(B)=\mathbf{P}(B|\text{Ą})\mathbf{P}(\text{Ą})+\mathbf{P}(B|\text{Ę})\mathbf{P}(\text{Ę})}\)
przy czym wydaje się, że można przyjąć
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(\text{Ą})=\frac 1 2=\mathbf{P}(\text{Ę})}\). Dalej sobie poradzisz?

11) Polya to chyba ten znany matematyk, który napisał taką jedną książkę o niczym (oczywiście nie z tego jest znany i nie jest moim celem dyskredytowanie go). Nie pamiętam tego schematu, ale ja to widzę tak:
dla ustalenia uwagi wyznaczymy z początku prawdopodobieństwo, że najpierw \(\displaystyle{ 7}\) razy wylosujemy kulę białą, a potem \(\displaystyle{ 20-7=13}\) razy kulę czarną. Jak się zdaje, wychodzi
\(\displaystyle{ \frac{25}{70} \frac{27}{72}\dots \frac{37}{82} \cdot \frac{45}{84} \frac{47}{86}\dots \frac{69}{108}}\)
Jeżeli teraz rozpatrzymy inną kolejność białych i czarnych w tych \(\displaystyle{ 20}\) próbach, tak aby wylosowanych białych nadal było \(\displaystyle{ 7}\), a czarnych - \(\displaystyle{ 13}\), to wartość tego iloczynu prawdopodobieństw się nie zmieni, gdyż iloczyn mianowników będzie taki sam, bo tak czy inaczej po każdej próbie dodajemy dwie kule, a iloczyn liczników - także, bo
i tak wystąpią w licznikach liczby \(\displaystyle{ 25, 25+2, \dots 25+(7-1)\cdot 2}\) oraz \(\displaystyle{ 45, 45+2, 45+(13-1)\cdot 2}\) (a to dlatego, że jeśli ma być siedem białych, to sześc razy następuje wzrost liczby białych o \(\displaystyle{ 2}\) i analogicznie z czarnymi, tylko że dwanaście razy).
Zatem odpowiedź (dość brzydka) to najwyraźniej \(\displaystyle{ {20 \choose 7}\frac{25}{70} \frac{27}{72}\dots \frac{37}{82} \cdot \frac{45}{84} \frac{47}{86}\dots \frac{69}{108}}\)

Dopóki nie pokażesz odrobiny zaangażowania (poprzez zadawanie pytań/próby rozwiązania etc.), to więcej nie napiszę. Sorry, ale w tym momencie to dociekliwości nie widzę (może tu jej po prostu nie pokazujesz).

BTW Czy ktoś lepszy z języka polskiego może mi wytłumaczyć, o co chodzi w treści zadania piątego?

[Lyzka]

1. \(\displaystyle{ \frac{P(A_3') \cdot P(A_1) \cdot P(A_2)}{P(A_3') \cdot P(A_1) \cdot P(A_2)+P(A_2') \cdot P(A_1) \cdot P(A_3)+P(A_1') \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)}=\frac{14}{47}}\)

2. Obliczam \(\displaystyle{ P(A_1 | B) \quad i \quad P(A_2 | B)}\) i porównuję, gdzie \(\displaystyle{ B}\) to kula zdarzenie że mamy kulę białą, a \(\displaystyle{ A_i}\) i-te pudełko.
Wyszło mi że z II pudełka jest bardziej prawdopodobne (\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)) w I wyszło \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

3. Poradzę sobie dalej.

Z resztą zadań sobie poradziłam, pozostało mi jeszcze tylko 10-te zadanie. Z krwinkami.

czy to będzie schemat Bernoulliego?
tzn a) \(\displaystyle{ P_{8,4}={8 \choose 4} \cdot p^4 \cdot (1-p)^4}\) ?? i czy moje \(\displaystyle{ p= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}}\)
b) \(\displaystyle{ P_{8,4}+P_{8,3}+P_{8,2}+P_{8,1}+P_{8,0}}\) ???

[Premislav]

Zadanie pierwsze masz dobrze.

Dziesiątego za bardzo nie rozumiem.

[Lyzka]

10 jednak z tw Poisson trzeba zrobić.
a) \(\displaystyle{ \lambda=8 \quad k=4}\) i to wzoru
b) dla \(\displaystyle{ k=4,3,2,1,0}\) i też do wzoru