Piksele w kwadracie

[kasia00]

Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ G}\) składający się z \(\displaystyle{ g}\) pikseli, oraz koło w środku kwartatu \(\displaystyle{ F}\) składające się z \(\displaystyle{ f}\) pikseli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy losowym wybraniu trzech pikseli z \(\displaystyle{ G}\), dokładnie dwa będą częścią \(\displaystyle{ F}\)?

Mój pomysł:
\(\displaystyle{ p _{1} = P(X _{1} \in F) = \frac{f}{g}}\)
\(\displaystyle{ p _{2} = P(X _{2} \in F) = \frac{f}{g}}\)
\(\displaystyle{ p _{3} = P(X _{3} \in G\F) = \frac{g-f}{g}}\)

Nie wiem czy dobrze rozumuję, proszę o pomoc

[Mruczek]

Na razie jest dobrze. Teraz zapisz wzór na liczbę zdarzeń sprzyjających (że dwa są w środku i jeden na zewnątrz) i omegę.

[kasia00]

Omega będzie wynosić \(\displaystyle{ g ^{3}}\) ? Ze zdarzeniami sprzyjającymi mam jednak problem. Czy muszę rozróżnić przypadki w którym piksel z poza koła będzie wylosowany jako pierwszy, drugi czy trzeci? W jaki sposób to zrobić?

[Mruczek]

No tutaj mam dylemat czy losujemy ze zwracaniem czy bez zwracania. Jeżeli losujemy ze zwracaniem to Twoja omega jest ok (zauważ, że ustalamy tutaj kolejność losowania pikseli). Wtedy musisz rozróżnić który z nich jest poza kołem.

[kasia00]

Losujemy ze zwracaniem, zapomniałam dodać. W jaki sposób muszę rozróżnić który będzie poza kołem?

[Mruczek]

No albo pierwszy, albo drugi, albo trzeci - musisz rozważyć te trzy przypadki sumując zdarzenia sprzyjające. Czyli będzie to:
\(\displaystyle{ 3 \cdot f \cdot f \cdot (g - f)}\)
I trzeba to podzielić przez omegę.

Ewentualnie można było powiedzieć, że prawdopodobieństwo to jest po prostu \(\displaystyle{ 3 \cdot p_{1} \cdot p_{2} \cdot p_{3}}\).