13-ście zadań z prawdopodobieństwa

[Lyzka]

Prawdopodobieństwa nigdy nie lubiłam. Niestety mam taki przedmiot i muszę go zaliczyć . Może robiąc te zadania coś mnie natchnie. Niestety w większości nie wiem nawet jak się za nie zabrać. Oto one:

1. Niech przestrzeń zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega = a,b,c}\). Określić prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\) na \(\displaystyle{ 2^{\Omega}}\) tak aby \(\displaystyle{ P(a)=0,2}\) oraz \(\displaystyle{ P(b)=0,3}\)

2. W celu sprawdzenia pracy automatycznej obrabiarki pobiera się 4-elementową z bieżącej produkcji. Element próby jest kwalifikowany jako brak, jeżeli jego wymiary nie mieszczą się w granicach tolerancji. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych? Opisać zdarzenia:
a) w próbie nie będzie braków;
b) w próbie będą co najmniej dwa braki.

3. Wybieramy losowa jedną osobę spośród studentów i studentek przybyłych na wykład. Niech zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) polega na tym, że osoba ta jest mężczyzną, zdarzenie \(\displaystyle{ B}\), że wybrana osoba nie pali papierosów, a zdarzenie \(\displaystyle{ C}\), że mieszka w akademiku.
a) Opisać słowami zdarzenie \(\displaystyle{ A \cap B \cap C'}\)
b)Przy jakich warunkach będzie zachodzić równość \(\displaystyle{ A \cap B \cap C=A}\)
c)Przy jakich warunkach będziemy mieli \(\displaystyle{ C' \subset B}\)
d)Kiedy zachodzi równość \(\displaystyle{ A'=B}\)? Czy jest ona spełniona, gdy wszyscy mężczyźni palą?

4. Z \(\displaystyle{ n}\)-elementowego zbioru losujemy ze zwrotem k elementów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane elementy są różne.

5. \(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{3}}\) \(\displaystyle{ P(B)= \frac{1}{4}}\) \(\displaystyle{ P(A \cap B)= \frac{1}{6}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ P(A \cup B')}\).

6. Dwie osoby mają jednakowe prawdopodobieństwo przybycia na dane miejsce w każdej chwili przedziału czasu długości \(\displaystyle{ T}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że czas oczekiwania jednej osoby na drugą będzie nie dłuższy niż \(\displaystyle{ t}\), \(\displaystyle{ (0<t <T)}\)

7. Z talii 52 kart losujemy 4 karty a) bez zwracania b) ze zwracaniem. Obliczyć prawdopodobieństwo że karty te będą różnych kolorów.

8. Odcinek \(\displaystyle{ AB}\) podzielono punktem \(\displaystyle{ C}\) na dwa odcinki \(\displaystyle{ AC=a}\), \(\displaystyle{ CB=b}\). Na odcinku \(\displaystyle{ AC}\) obrano dowolnie punkt \(\displaystyle{ X}\), a na odcinku \(\displaystyle{ CB}\), punkty \(\displaystyle{ Y}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że z odcinków \(\displaystyle{ AX}\), \(\displaystyle{ XY}\), \(\displaystyle{ YB}\) można zbudowac trójkąt.

9. W urnie znajdują się \(\displaystyle{ 4}\) kule białe, \(\displaystyle{ 3}\) czarne, \(\displaystyle{ 5}\) zielonych. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania białej lub czarnej kuli.

10. Wyznaczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p_r}\), że w próbce \(\displaystyle{ r}\) cyfr wybranych losowo nie ma dwóch jednakowych. Ocenić wartość liczbową \(\displaystyle{ p_{10}}\) za pomocą wzoru Stirlinga.

11. Na tarczy zakreślone są \(\displaystyle{ 4}\) koncentryczne koła o promieniach \(\displaystyle{ r_k}\), \(\displaystyle{ (k=1,2,3,4)}\), przy czym \(\displaystyle{ r_1<r_2<r_3<r_4}\). Niech zdarzenie \(\displaystyle{ A_k}\) oznacza trafienie w koło o promieniu \(\displaystyle{ r_k}\). Co oznaczają zdarzenia \(\displaystyle{ B=A_1 \cup A_2}\) , \(\displaystyle{ C=A_2 \cap A_3}\) ,\(\displaystyle{ D=A'_1}\),\(\displaystyle{ F=A_2-A_1}\)? Obliczyć \(\displaystyle{ P(B)}\), \(\displaystyle{ P(C)}\), \(\displaystyle{ P(D)}\), \(\displaystyle{ P(F)}\), przy założeniu że \(\displaystyle{ P(A_4)=1}\)

12. Udowodnić, że \(\displaystyle{ P(B \setminus A) \ge P(B)-P(A)}\)

13. Niech pary \(\displaystyle{ (\Omega ,P_1)}\) , \(\displaystyle{ (\Omega , P_2)}\) będą przestrzeniami probabilistycznymi. Niech funkcja \(\displaystyle{ P}\) będzie określona na zdarzeniach \(\displaystyle{ A \subset \Omega}\) w następujący sposób:
\(\displaystyle{ P(A)= \alpha P_1(A)+(1- \alpha )P_2(A), \quad \alpha \in \left[ 0,1\right]}\)
Wykazać, że para \(\displaystyle{ (\Omega ,P)}\) jest przestrzenią probabilistyczną.

---
AD 3 a) osoba która jest mężczyzną, nie pali i nie mieszka w akademiku.
b) \(\displaystyle{ A=B=C}\)
---

PS. proszę z góry mnie nie oceniać. Nie chcę iść na gotowe. Chcę to zrozumieć. A do tego trzeba robić zadania. Ale jak je robić skoro nie wiem jak. Jako że to forum to istnieje prawdopodobieństwo, że ktoś mi pomoże.

[Premislav]

5. \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cup B')=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B')-\mathbf{P}(A \cap B')=\mathbf{P}(A)+1-\mathbf{P}(B)-(\mathbf{P}(A)-\mathbf{P}(A \cap B))}\)
Podstaw i gotowe. Czy znasz podstawowe własności prawdopodobieństwa, z jakich tu korzystałem? Powinny się pojawić na pierwszym wykładzie.

9. Proponuję zrobić to przez zdarzenie przeciwne - jakie jest prawdopodobieństwo, że nie wylosujesz ani czarnej, ani białej kuli? odejmij to od \(\displaystyle{ 1}\) i voila.

10. Fajne, dobrze byłoby, aby ktoś to sprawdził. Jak rozumiem, kolejność wybranych cyfr nie ma znaczenia. Czyli kombinacje z powtórzeniami (a jeśli chodzi o zdarzenia sprzyjające - to bez powtórzeń). Wszystkich możliwych wyborów \(\displaystyle{ r}\) cyfr mamy wówczas
\(\displaystyle{ {9+r \choose r}}\), a takich, w których żadne dwie cyfry nie będą się powtarzać,
jest \(\displaystyle{ {10 \choose r}}\) (wybieramy \(\displaystyle{ r}\) spośród \(\displaystyle{ 10}\) cyfr), przy czym jest oczywiste, że dla \(\displaystyle{ r>10}\) dostaniemy tu zero.
Czyli wygląda na to, że\(\displaystyle{ p_r= \frac{{10 \choose r}}{{9+r \choose r}}}\), więc \(\displaystyle{ p_{10}= \frac{1}{{19 \choose 10}}= \frac{9! 10!}{19!}}\). Wzór Stirlinga masz tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Stirlinga

12. Równoważnie mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B\setminus A)+\mathbf{P}(A) \ge \mathbf{P}(B)}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cup B)=\mathbf{P}(B \setminus A)+\mathbf{P}(B)}\)
- zbiory \(\displaystyle{ B\setminus A}\) i \(\displaystyle{ A}\) dają sumę mnogościową \(\displaystyle{ A \cup B}\) i są rozłączne, więc mamy dla nich własność addytywności prawdopodobieństwa.
Ponadto oczywiście \(\displaystyle{ B \subseteq A \cup B}\) i skorzystaj z monotoniczności prawdopodobieństwa.

Uwaga poboczna (nie chodzi mi o personalne przytyki, nie chcę też pokazać, jaki jestem "ważny" itd.)
- nie zalecam używania takiego formatu zapisu, jak "13-ście","18-nastka", "2-gi", "3-ech" i tak dalej - moim zdaniem to wszystko jest błędne, a niedouczeni dziennikarze, którzy przecież na niczym się nie muszą znać, utrwalają u niektórych przekonanie, że tak można pisać.

-- 28 paź 2016, o 04:48 --

A szóste było bodajże ładnie wyjaśnione w książce Jakubowskiego i Sztencla Wstęp do Teorii Prawdopodobieństwa, chyba zaraz na początku. Mogę Ci podrzucić w PDF.

OK, chyba co do 6. to niepotrzebne jest szukanie w książce, bo mniej więcej pamiętam, co tam było.
Wygodnie będzie rozważyć \(\displaystyle{ [0,T]\times[0,T]}\) z przeskalowaną miarą płaską Lebesgue'a (tj. podzieloną przez \(\displaystyle{ T^2}\), czyli pole całości). Narysuj sobie w układzie współrzędnych (wygodnie będzie, żeby jeden wierzchołek leżał w \(\displaystyle{ (0,0)}\)) taki "kwadrat" \(\displaystyle{ [0,T]\times [0,T]}\) i zaznacz w nim punkty \(\displaystyle{ (x,y)}\), które spełniają \(\displaystyle{ |x-y|\le t}\)
(punkt (x,y), gdzie \(\displaystyle{ x \in [0,T], y \in [0,T],}\) odzwierciedla sytuację, w której pierwsza osoba przybyła w chwili \(\displaystyle{ x}\), a druga w chwili \(\displaystyle{ y}\)).

[Lyzka]

w 5. nie wiem skąd to : \(\displaystyle{ (\mathbf{P}(A)-\mathbf{P}(A \cap B))}\).
Resztę zadań sprawdzę troszkę później

[Premislav]

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cap B')=\mathbf{P}(A\setminus B)=\mathbf{P}(A \setminus (A \cap B))=\mathbf{P}(A)-\mathbf{P}(A \cap B)}\),
bo \(\displaystyle{ A\setminus B=A\setminus(A \cap B)}\) oraz jeżeli \(\displaystyle{ C \subset D}\), to
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(D \setminus C)=\mathbf{P}(D)-\mathbf{P}(C)}\) - to ostatnie to jedna z podstawowych własności prawdopodobieństwa, która powinna się pojawić na pierwszym/drugim wykładzie i wynika z przeliczalnej addytywności miary probabilistycznej.

[Lyzka]

Dobra, 5 zad zrobiłam za pomocą rysunku. Reszta zadań, też w miarę ogarnięta, dzięki za pomoc