Poprawność rozumowania - ruch Browna

[elbargetni]

Mam znaleźć rozkład skończenie wymiarowy ruchu Browna.
Robię to w następujący sposób (korzystam z prawdopodobieństwa całkowitego dla rozkładu ciągłego):

\(\displaystyle{ P(B_{t_1}<x_1,..., B_{t_n}<x_n) = \int_{-\infty}^{x_1} P(B_{t_1}<x_1,..., B_{t_n}<x_n | B_{t_1}=y_1)\cdot f_{B_{t_1}}(y_1)dy_1}\)

Następnie otrzymuję:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x_1} P(B_{t_2}<x_2,..., B_{t_n}<x_n | B_{t_1}=y_1)\cdot f_{B_{t_1}}(y_1)dy_1}\), po dodaniu i odjęciu wyrażenia \(\displaystyle{ B_{t_1}}\) dochodzę do postaci:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x_1} P(B_{t_2}-B_{t_1}<x_2-y_1,..., B_{t_n}-B_{t_1}<x_n-y_1)\cdot f_{B_{t_1}}(y_1)dy_1}\)

Teraz postępuję podobnie z wyrażeniem:

\(\displaystyle{ P(B_{t_2}-B_{t_1}<x_2-y_1,..., B_{t_n}-B_{t_1}<x_n-y_1)}\) i uzyskuję:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x_2} P(B_{t_3}-B_{t_2}<x_3-y_2,..., B_{t_n}-B_{t_2}<x_n-y_2)\cdot f_{B_{t_2}-B_{t_1}}(y_2-y_1)dy_2}\)

Czyli ostatecznie mam:

\(\displaystyle{ P(B_{t_1}<x_1,..., B_{t_n}<x_n) = \int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} P(B_{t_3-t_2}<x_3-y_2,..., B_{t_n-t_2}<x_n-y_2 )\cdot f_{B_{t_2-t_1}}(y_2-y_1)dy_2 \cdot f_{B_{t_1}}(y_1)dy_1}\)

Postępując tak n razy uzyskam:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x_1} ... \int_{-\infty}^{x_n} f_{B_{t_n-t_{n-1}}}(y_n-y_{n-1})dy_n \cdot ... \cdot f_{B_{t_1}}(y_1)dy_1}\)