Wartość oczekiwana z procesem Poissona

[elbargetni]

Łatwo pokazać, że dla \(\displaystyle{ N_t}\) - prcoes Poissona oraz \(\displaystyle{ s<t}\) spełniona jest równość:

\(\displaystyle{ E[N_t|N_s] = E[N_t-N_s+N_s|N_s] = E[N_t-N_s|N_s] + E[N_s|N_s] = E[N_t-N_s] + N_s = N_s}\)

Jak teraz obliczyć:
\(\displaystyle{ E[N_s|N_t]}\) w podobny sposób?

Wiem, że można to zrobić tak:
\(\displaystyle{ E[N_s|N_t = n] = \sum_{i=1}^{n} i \cdot P[N_s=i|N_t=n] = ...}\)
i uzyska się wynik w zależności od n.
Zależy mi jednak na sposobie bez liczenia tej sumy.

[Alef]

\(\displaystyle{ E[N_t-N_s] + N_s = N_s}\)

To nie jest prawda.