Klasyczne i geometryczne - kilka zadań
: 19 wrz 2016, o 12:56
Proszę o sprawdzenie rozwiązań/wskazówki.
1. Rzucamy dwiema kośćmi do gry. Wyznaczyć ogólny wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek będzie równa \(\displaystyle{ k}\).
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \Omega=\{\ (\omega_1,\omega_2):\ \omega_1,\omega_2\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \}\\
|\Omega|=\overline V^2_6=36\\[2ex]
A=\{\ (\omega_1,\omega_2)\in\Omega:\ \omega_1+\omega_2=k, \ k\in\{2,3,\ldots,12\}\ \}\\
|A|=-|k-7|+6\\[2ex]
\mathbb P(A)=\frac{-\left|k-7\right|+6}{36}}\)
Wzór na \(\displaystyle{ |A|}\) nie podoba mi się. Wziąłem go po zliczeniu dwuelementowych podzbiorów na kartce i przypasowaniu ich do funkcji. Nie wpadłem na żaden kombinatoryczny wzór.
2. Na okręgu wybrano losowo trzy punkty, które wyznaczyły trójkąt. Jaka jest szansa, że tak powstały trójkąt jest ostrokątny?
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \varphi}\) - kąt środkowy o wierzchołkach A i B trójkąta
\(\displaystyle{ \psi}\) - kąt środkowy o wierzchołkach B i C trójkąta
\(\displaystyle{ \Omega=\{\ (\varphi,\psi):\ \varphi\in(0;2\pi),\ \psi\in(0;2\pi-\varphi)\ \}\\
l_2(\Omega)=2\pi^2\\[2ex]
A=\{\ (\varphi,\psi)\in\Omega:\ \frac\varphi2\in(0;\frac\pi2),\ \frac\psi2\in(0;\frac\pi2),\ \pi-\frac\varphi2-\frac\psi2\in(0;\frac\pi2)\ \}\\
l_2(A)={\pi^2\over2}\\[2ex]
\mathbb P(A)=\underline{\frac14}}\)
3. \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})}\) - przestrzeń probabilistyczna. Pokazać, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A,B,C\in\mathcal{A}}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ A\cup B\cup C=\Omega,\quad\mathbb P(B)=2\mathbb P(A),\quad\mathbb P(C)=3\mathbb P(A),\quad\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(B\cap C),}\)
to \(\displaystyle{ \frac16\le\mathbb P(A)\le\frac14}\).
Rozwiązanie
Ograniczenie dolne łatwo wychodzi z faktu, że \(\displaystyle{ \mathbb P(A\cup B\cup C)\le\mathbb P(A)+\mathbb P(B)+\mathbb P(C)}\). Ograniczenie górne udało mi się znaleźć najmniejsze \(\displaystyle{ \frac13}\), ale nie udało mi się zejść do \(\displaystyle{ \frac14}\).
4. \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})}\) - przestrzeń probabilistyczna. Niech \(\displaystyle{ A_1, A_2,\ldots\in\mathcal{A}}\). Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\mathbb P(A_n)<\infty}\), to \(\displaystyle{ \mathbb P(\underset{n=1}{\overset{\infty}{\cap}}\underset{k=n}{\overset{\infty}{\cup}}A_k)=0}\).
Proszę o wskazówkę, jak z tym ruszyć/w jakim kierunku iść.
Pozdrawiam i dziękuję za pomoc,
Mrlos.
1. Rzucamy dwiema kośćmi do gry. Wyznaczyć ogólny wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek będzie równa \(\displaystyle{ k}\).
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \Omega=\{\ (\omega_1,\omega_2):\ \omega_1,\omega_2\in\{1,2,3,4,5,6\}\ \}\\
|\Omega|=\overline V^2_6=36\\[2ex]
A=\{\ (\omega_1,\omega_2)\in\Omega:\ \omega_1+\omega_2=k, \ k\in\{2,3,\ldots,12\}\ \}\\
|A|=-|k-7|+6\\[2ex]
\mathbb P(A)=\frac{-\left|k-7\right|+6}{36}}\)
Wzór na \(\displaystyle{ |A|}\) nie podoba mi się. Wziąłem go po zliczeniu dwuelementowych podzbiorów na kartce i przypasowaniu ich do funkcji. Nie wpadłem na żaden kombinatoryczny wzór.
2. Na okręgu wybrano losowo trzy punkty, które wyznaczyły trójkąt. Jaka jest szansa, że tak powstały trójkąt jest ostrokątny?
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \varphi}\) - kąt środkowy o wierzchołkach A i B trójkąta
\(\displaystyle{ \psi}\) - kąt środkowy o wierzchołkach B i C trójkąta
\(\displaystyle{ \Omega=\{\ (\varphi,\psi):\ \varphi\in(0;2\pi),\ \psi\in(0;2\pi-\varphi)\ \}\\
l_2(\Omega)=2\pi^2\\[2ex]
A=\{\ (\varphi,\psi)\in\Omega:\ \frac\varphi2\in(0;\frac\pi2),\ \frac\psi2\in(0;\frac\pi2),\ \pi-\frac\varphi2-\frac\psi2\in(0;\frac\pi2)\ \}\\
l_2(A)={\pi^2\over2}\\[2ex]
\mathbb P(A)=\underline{\frac14}}\)
3. \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})}\) - przestrzeń probabilistyczna. Pokazać, że jeżeli zdarzenia \(\displaystyle{ A,B,C\in\mathcal{A}}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ A\cup B\cup C=\Omega,\quad\mathbb P(B)=2\mathbb P(A),\quad\mathbb P(C)=3\mathbb P(A),\quad\mathbb P(A\cap B)=\mathbb P(B\cap C),}\)
to \(\displaystyle{ \frac16\le\mathbb P(A)\le\frac14}\).
Rozwiązanie
Ograniczenie dolne łatwo wychodzi z faktu, że \(\displaystyle{ \mathbb P(A\cup B\cup C)\le\mathbb P(A)+\mathbb P(B)+\mathbb P(C)}\). Ograniczenie górne udało mi się znaleźć najmniejsze \(\displaystyle{ \frac13}\), ale nie udało mi się zejść do \(\displaystyle{ \frac14}\).
4. \(\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})}\) - przestrzeń probabilistyczna. Niech \(\displaystyle{ A_1, A_2,\ldots\in\mathcal{A}}\). Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty\mathbb P(A_n)<\infty}\), to \(\displaystyle{ \mathbb P(\underset{n=1}{\overset{\infty}{\cap}}\underset{k=n}{\overset{\infty}{\cup}}A_k)=0}\).
Proszę o wskazówkę, jak z tym ruszyć/w jakim kierunku iść.
Pozdrawiam i dziękuję za pomoc,
Mrlos.