Uczciwa ruletka?

[Majeskas]

W pewnej książce popularyzatorskiej jest mowa o ruletce w kontekście rachunku prawdopodobieństwa. Omówiony jest następujący zakład. Ruletka składa się z osiemnastu pól czarnych, osiemnastu pól czerwonych i zielonego zera. Stawiamy \(\displaystyle{ 5}\) euro na czarne. Jeśli wygramy, dostajemy \(\displaystyle{ 10}\) euro, czyli wygrywamy \(\displaystyle{ 5}\). Jeśli przegramy, tracimy \(\displaystyle{ 5}\) euro i wtedy podwajamy stawkę, tj. stawiamy \(\displaystyle{ 10}\) w następnym zakładzie. Przy wygranej jesteśmy znów \(\displaystyle{ 5}\) do przodu (wygrana to podwojenie zakładu); przy przegranej znów podwajamy itd. I tak czekamy na moment pierwszego wypadnięcia czarnego pola. To będzie moment, kiedy kończymy z \(\displaystyle{ 5}\) euro. Obliczona jest tam wartość wartość oczekiwana wygranej gracza, który jest gotów podjąć \(\displaystyle{ 11}\) zakładów - przy założeniu, że nie ma na ruletce zera:

\(\displaystyle{ 5\cdot\frac{2047}{2048}-10235\cdot\frac1{2048}=0}\)

Oczywiście łatwo stwierdzić, że wartość ta nie zależy od liczby zakładów. Zatem gra jest uczciwa dla obu stron.

Teraz pojawia się komentarz: "Jednak na uczciwej grze kasyno nigdy nic by nie zarobiło. Stąd zielone zero. Gdy wypadnie zero, żeton postawiony na czarne zostaje zablokowany i w następnym rzucie albo przegrywa, gdy padnie na czerwone, albo wygrywa, gdy padnie na czarne, albo zostaje ponownie zablokowany. To oczywista przewaga kasyna - w ten sposób wynik oczekiwany z punktu widzenia gracza ma wartość ujemną".

Postanowiłem obliczyć tę "oczywistą przewagę". Rozważmy na początku jeden zakład. Gracz wygra, jeśli ciąg wyników ruletki ma postać \(\displaystyle{ 00\ldots 0\ \textrm{Czarne}}\). Dzieje się tak z prawdopodobieństwem:

\(\displaystyle{ \frac{18}{37}\sum_{k=0}^\infty\left( \frac1{37}\right)^k=\frac12}\)

Jak na razie gra całkiem uczciwa. Powiedzmy, że grający jest gotów na dwa zakłady. Wtedy pożądane ciągi wyników to \(\displaystyle{ 00\ldots 0\ \textrm{Czarne}}\) i \(\displaystyle{ 00\ldots 0\ \textrm{Czerwone}\ 00\ldots0\ \textrm{Czarne}}\). Na pierwszy typ mamy szansę \(\displaystyle{ \frac12}\), na drugi \(\displaystyle{ \frac14}\).

I znów widać, że niezależnie od liczby zakładów rozkład tej zmiennej losowej jest taki sam jak w sytuacji bez zera, więc i wartość oczekiwana będzie taka sama. Gdzie zatem ta przewaga kasyna? Może jakoś źle to modeluję?

[piasek101]

Gdy wypada zero - to kasyno zgarnia (prawie wszystko) co leżało na stole.

W odmianie, którą podajesz tego nie ma - więc i przewagi kasyna nie ma.