rozkład ujemny dwumianowy(?)

[askenazy]

Mam problem z następującym zadaniem.

Prawdopodobieństwo wygrania muszelki w jednej próbie wynosi \(\displaystyle{ p}\). Ile co najmniej prób należy wykonać, aby z zadanym prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \beta}\) wygrać co najmniej \(\displaystyle{ m}\) muszelek?

Wydaje mi się, że ilość prób potrzebnych do osiągnięcia \(\displaystyle{ m}\) sukcesów ma rozkład ujemny dwumianowy. Niestety funkcja prawdopodobieństwa tego rozkładu zawiera niewiadomą zarówno w wykładniku potęgi jak i w symbolu Newtona. Stąd przyrównanie prawdopodobieństwa z funkcji prawdopodobieństwa rozkładu UD do \(\displaystyle{ \beta}\) nie jest efektywne.

Inna droga - przez rozkład dwumianowy:

\(\displaystyle{ {n \choose m} p^m(1-p)^{n-m}+{n \choose {m+1}} p^{m+1}(1-p)^{n-m-1}+...+{n \choose {n}} p^{n}=\beta}\)

Nie ma możliwości zsumowania lewej strony.
Zadanie musi być proste - pochodzi z egzaminu dla nie-matematyków.


Może trzeba inaczej do tego podejść ?

[janusz47]

\(\displaystyle{ P( \ge m,n) = 1- \sum_{k=0}^{m-1}{n \choose k}p^{k}(1- p)^{n-k} = \beta.}\)

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{m-1}{n \choose k}p^{k}(1- p)^{n-k} = 1 - \beta}\) (*)

Zastosuj do lewej strony równania (*) wzór dwumianowy Newtona i oblicz \(\displaystyle{ n.}\)

[askenazy]

Nie da się zsumować tego szeregu w klasie znanych funkcji. Gdyby to było możliwe, to można by było też wyznaczyć dystrybuantę rozkładu dwumianowego. Lewa strona (*) jest właśnie dystrybuantą rozkładu dwumianowego. A wiadomo, że dystrybuanta rozkładu dwumianowego nie wyraża się przez funkcje elementarne, tylko przez funkcje Bessela.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Rozk%C5%82ad_dwumianowy

[Cytryn]

Nie znam się aż tak na rachunku prawdopodobieństwa, ale spróbowałbym najpierw rozwiązać jakiś prostszy przypadek, na przykład gdy \(\displaystyle{ p = 0.5}\). Może da się to jakoś uogólnić?

[janusz47]

Korzystamy z następującego twierdzenia.

Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2},...,X_{m},...}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych przyjmujących wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\) o rozkładach \(\displaystyle{ Pr(X_{i} =1)= p = 1 - Pr(X_{i} =0)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ p\in (0, 1).}\) Niech \(\displaystyle{ M = min\left\{ m\in N_{+}: X_{m} = 1 \right\}.}\)
Wówczas \(\displaystyle{ Pr(X\ge m)= (1- p)^{m}.}\)

Stąd i z treści zadania

\(\displaystyle{ ( 1- p)^{m} = \beta,}\)

\(\displaystyle{ m\ln(1- p) = ln(\beta),}\)

\(\displaystyle{ m = \frac{ln(\beta)}{ln(1 - p)}.}\)

Jeżeli z obliczeń otrzymamy

\(\displaystyle{ m \notin N_{+},}\) wtedy bierzemy część całkowitą \(\displaystyle{ E \left(\frac{ln(\beta)}{ln(1 - p)} \right)}\) liczby \(\displaystyle{ m.}\)

[askenazy]

Dzięki za odpowiedź, ale wydaje mi się, że to rozwiązanie jest poprawne dla dokładnie jednej muszelki.
Choć i dla jednej muszelki nie jestem przekonany...
Powód?
Połóżmy \(\displaystyle{ p=0,00000000001}\) oraaz \(\displaystyle{ \beta=1-p=0,999999999999}\)
Wtedy wzór na \(\displaystyle{ m}\) daje dokładnie jedynkę. Więc odpowiedź - trzeba wykonać co najmniej jedną próbę....... To by było oczywiste od samego początku