Funkcja charakterystyczna rozkładu dyskretnego.

[lucjan91]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania.

Zmienna losowa ma rozkład: \(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)p^k}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,...}\)
Pokaż że \(\displaystyle{ \phi(t)=\frac{1-p}{1-p * \exp{it}}}\) jest funkcją charakterystyczną zmiennej X.

Z definicji funkcji charakterystycznej dla rozkładu dyskretnego wynika że:
\(\displaystyle{ \phi(t)=\sum_{k=1}^{n} \exp(itk) (1-p) p^k=(1-p)\sum_{k=1}^{n}(pe^i^t)^k}\)

Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}x^n=\frac{1}{1-x}}\)

Dostaję funkcję w postaci:
\(\displaystyle{ \phi(t)=\frac{1-p}{(1-p)-(1-p)(p\exp(it))}}\)

Prawdopodobnie zastosowałem zły wzór na sumę szeregu geometrycznego. Proszę o sugestię z jakiego wzoru powinienem skorzystać żeby rozwiązać to zadanie. Bardzo dziękuję za pomoc.

[miodzio1988]

ze wzoru na skonczoną sumę szeregu geometrycznego, a nie nieskończoną

[lucjan91]

Naszły mnie wąptliwości gdy kolejny raz podszedłem do zadania. Czy popełniłem błąd pisząc:
\(\displaystyle{ \phi(t)=\sum_{k=1}^{n} \exp(itk) (1-p) p^k=(1-p)\sum_{k=1}^{n}(pe^i^t)^k}\)

zamiast:

\(\displaystyle{ \phi(t)=\sum_{k=1}^{ \infty } \exp(itk) (1-p) p^k=(1-p)\sum_{k=1}^{\infty}(pe^i^t)^k}\)?

W końcu polecenie \(\displaystyle{ k=1,2,3,...}\) wskazuje na szereg nieskończony. Z tego wynikałoby że wzór którego chciałem użyć jest OK, a pomyliłem się w innym miejscu. Może to jest błąd w zadaniu?

[a4karo]

Ten opis nie wystarcza do określenia rozkładu zmiennej losowej bo \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty P(X=k)<1}\).

Sprawdź, czy nie powinno być \(\displaystyle{ k=0,1,2,\dots}\).

NB zastanawiam się co to jest skończona suma szeregu geometrycznego.

[lucjan91]

To może być błąd w zadaniu. Czy mógłbyś mi dać wskazówki jak rozwiązać to zadanie krok po kroku? Konkretnie jakiego wzoru powinienem użyć do obliczenia sumy tego szeregu, zakładając że zaczyna się od zera.

[a4karo]

Załóż, że \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,\dots}\) Wtedy dostaniesz poprawna sumę.

[lucjan91]

Dziękuję jeszcze raz za pomoc. Policzyłem jeszcze raz i wyszło dobrze.
Wrzucam dla wyszukiwarki i potomnych, gdyby ktoś rozwiązywał to samo zadanie.

Zadanie:

Zmienna losowa ma rozkład: \(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)p^k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,...}\) Pokaż że \(\displaystyle{ \phi(t)=\frac{1-p}{1-pe^i^t}}\) jest funkcją charakterystyczną zmiennej X.

Rozwiązanie:

Wskazówka kolegów:
\(\displaystyle{ k=1,2,3,...}\) oznacza że szereg geometryczny nie jest nieskończony. W zadaniu był błąd, powinno być \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,...}\). W tamtym przypadku należałoby użyć wzoru jak poniżej:

\(\displaystyle{ S=\frac{a_{1}}{1-q}}\) przy czym \(\displaystyle{ a_{1}}\) to pierwszy wyraz szeregu a \(\displaystyle{ q}\) to iloraz szeregu geometrycznego.

Wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \sum_{}^{}x^n=\frac{1}{1-x}}\)

Wzór funkcji charakterystycznej rozkładu dyskretnego:
\(\displaystyle{ \phi(t)=\sum_{k}^{}\exp(itx_{k})p_{k}}\)

Z definicji funkcji charakterystycznej dla rozkładu dyskretnego wynika że:
\(\displaystyle{ \phi(t)=\sum_{k}^{} e^i^t^k (1-p) p^k=(1-p)\sum_{k}^{}(pe^i^t)^k=(1-p)\frac{1}{1-pe^i^t}=\frac{1-p}{1-pe^i^t}}\)-- 16 wrz 2016, o 17:56 --Chciałbym jeszcze raz prosić o pomoc w wykonaniu zadania z probabilistyki, opartego na tych samych danych.

Dana jest zmienna losowa dyskretna o rozkładzie \(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)p^k}\) dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,...}\)
Funkcja charakterystyczna tego rozkładu to \(\displaystyle{ \phi(t)=\frac{1-p}{1-pe^i^t}}\)

Teraz muszę obliczyć wartości oczekiwane \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ X^2}\), czyli obliczyć pierwszy i drugi moment zwykły dla zmiennej \(\displaystyle{ X}\)

Wiem że \(\displaystyle{ E(X)= \sum_{k}^{}k\phi(t)}\) a więc \(\displaystyle{ E(X)= \sum_{k}^{}\frac{k-pk}{1-pe^i^t}}\) Czy mogę prosić o rozjaśnienie jak rozwiązać to zadanie? Dziękuję za wszelką pomoc;)