Przez pewien punkt \(\displaystyle{ (0,l)}\) poprowadzona została prosta w losowo wybranym kierunku. Wyznaczyć gęstość rozkładu odciętej punktu przecięcia tej prosta z osią \(\displaystyle{ OX}\).
Prosta przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (X, 0)}\) i punkt \(\displaystyle{ 0,l}\). Razem tworzą trójkąt prostokątny, niech alfa będzie kątem między prostą a bokiem o długości \(\displaystyle{ l}\) wtedy
\(\displaystyle{ \tg \alpha= X/l}\)
Stąd \(\displaystyle{ X= l \tg \alpha, \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)}\)
Czyli \(\displaystyle{ X \sim U\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)}\)
ostatecznie gęstość
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot 1_{\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)}(x)}\)
Czy ktoś mógłby sprawdzić?
Z góry dzięki.