Ilość składanych jaj

[Mervius]

Witam, mam do rozwiązania następujące zadanie.
Liczba jaj składanych przez kurę w ciągu roku jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda > 0}\). Hodowca w ciągu roku zamierza produkować co najmniej N jaj. Jaka jest minimalna liczba kur, które trzeba zakupić, aby z prawdopodobieństwem co najmniej \(\displaystyle{ \beta}\) zrealizować plan hodowcy.

Czy ktoś mógłby sprawdzić moje rozwiązanie?
\(\displaystyle{ X _{i}}\) - zm. los oznaczająca liczbę jaj składaną przez i-tą kurę
\(\displaystyle{ X _{i} ~ Poiss(\lambda) EX_{i} = \lambda D ^{2} X_{i} = \lambda}\)
\(\displaystyle{ Sn = X_{1} + ... + X_{n}}\) - suma wszystkich jaj zniesionych przez n kur
\(\displaystyle{ ESn = n\lambda, D ^{2} Sn = n\lambda}\)
\(\displaystyle{ P(Sn \ge N) \ge \beta}\)
\(\displaystyle{ P(Z \ge \frac{N - \mu}{\sigma}) \ge \beta}\)
\(\displaystyle{ 1 - \Phi( \frac{N - n\lambda}{ \sqrt{n\lambda} }) \ge \beta}\)
Dalej wychodzi funkcja uwikłana, z której ciężko wyliczyć n, jednak profesor nie raz zostawiał funkcję bez wyliczenia i taki wynik jest u niego dopuszczalny. Czy takie rozwiązanie będzie poprawne czy powinienem skorzystać z tego, że suma rozkładów w Poisson będzie \(\displaystyle{ Poiss(\lambda_{1} + ... + \lambda_{n})?}\)

[askenazy]

Widzę, że mamy w zasadzie problem https://www.matematyka.pl/411370.htm.
Podejście z aproksymacją rozkładem normalnym będzie dobre gdy \(\displaystyle{ N}\) będzie wielkie bo wtedy \(\displaystyle{ n}\) będzie wielkie. Ale problem nastąpi wtedy, kiedy \(\displaystyle{ N}\) nie będzie wielkie. Wtedy ten wzór będzie fałszywy.