Jaki przykład do zbieżności ciągu z prawdopodobieństwem 1

[mateuszl95]

Cześć,
jak w temacie czytam następującą definicję już chyba 10 raz:

\(\displaystyle{ P\left( \left\{ \omega: \lim_{n \rightarrow \infty} X_n\left( \omega \right) = X\left( \omega \right) \right\} \right) =1}\)

i dalej nic nie rozumiem. Mógłby ktoś mi to zobrazować, na przykład na przykładzie kostki sześciennej?

[szw1710]

To jest definicja zbieżności prawie na pewno (w teorii miary nazywa się to zbieżnością prawie wszędzie). Zbiór tych \(\displaystyle{ \omega}\), dla których nie zachodzi zbieżność, ma po prostu miarę zero czyli jest w pewnym sensie mały. A zbiór tych \(\displaystyle{ \omega}\), dla których zachodzi zbieżność, jest w tym samym sensie duży. Tak duży, że ma prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ 1}\). Ale w rachunku prawdopodobieństwa nie każde zdarzenie o prawdopodobieństwie \(\displaystyle{ 1}\) jest pewne. Gdyby dla każdego \(\displaystyle{ \omega}\) zachodziła zbieżność, byłaby na pewno. Zauważ, że w tym szczególnym przypadku Twój warunek też zachodzi. Ale jest znacznie ogólniejszy ze względu na to co powyżej napisałem o zdarzeniach niepewnych o prawdopodobieństwie \(\displaystyle{ 1}\).