Własności prawdopodobieństwa

[docze]

Cześć, mam wątpliwości co do rozwiązań zadania. Treść jest następująca: Dla dowolnych zdarzeń A i B zachodzi:

\(\displaystyle{ P\left(A|B \right) = P\left(B|A\right)}\) - Uważam, że zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ P(A) = P(B)}\). Czyli fałsz ponieważ zachodzi tylko dla szczególnego przypadku.
\(\displaystyle{ P(A \cap B|B) = P(A|B)}\) - tego nie wiem.
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1}\) - Uważam, że zachodzi tylko gdy \(\displaystyle{ P(A \cup B) = 1}\). Też fałsz ponieważ zachodzi tylko dla szczególnego przypadku.

[Igor V]

Pierwsze ok
Drugie - \(\displaystyle{ P[(A \cap B)|B] = \frac{P[(A \cap B) \cap B]}{P(B)} = \frac{P(A \cap B) }{P(B)} = P(A|B)}\)
Trzecie - normalnie masz \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)}\). Wiadomo że \(\displaystyle{ P(A \cup B) \in [0,1]}\). Skoro odejmujesz największą możliwą wartość, to widać że w najlepszym przypadku będzie równość, a w pozostałych prawa strona będzie mniejsza od lewej.

[docze]

Z tego wynika, że tylko druga równość jest prawidłowa?

[squared]

Tak.

[Igor V]

squared, a trzecie nie ?

[docze]

Igor V, skoro napisałeś że trzecie równanie
\(\displaystyle{ P(A \cap B) \le P(A) + P(B) - 1}\)
to chyba istnieją takie zdarzenia A i B dla których zachodzi 3. równanie. Czyli nie dla dowolnych zdarzeń A i B.

[Igor V]

Napisałem że \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)}\).
\(\displaystyle{ P(A \cup B)}\) jest na ogół dodatnim ułamkiem właściwym, w szczególnym przypadku jest równe \(\displaystyle{ 1}\).Skoro w takiej równości zastępujesz ten ułamek (w szczególny przypadku \(\displaystyle{ 1}\)) przez \(\displaystyle{ 1}\), to prawa strona z tej równości musi teraz być mniejsza bądź równa lewej, bo odejmujesz coś więcej (albo tyle samo jak było \(\displaystyle{ 1}\)) niż do tej pory.

[docze]

Dopiero załapałem. Masz racje

\(\displaystyle{ P(A) + P(B) - P(A \cup B) \ge P(A) + P(B) - 1}\)
\(\displaystyle{ - P(A \cup B) \ge - 1/*(-1)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cup B) \le 1}\)

A tak jak napisałeś. \(\displaystyle{ P(A \cup B) \in [0;1]}\). Zatem wszystko się zgadza. Dzięki

[squared]

squared, a trzecie nie ?

Źle spojrzałem za kierunek nierówności.