Włamywacz otwiera przeciętnie jedne drzwi na sto. Zysk z jednego udanego włamania to zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym z wart. oczekiwaną \(\displaystyle{ 10^4}\)zł.
Ile prób musi podjąć złodziej, aby z prawdopodobieństwem co najmniej \(\displaystyle{ 0,9}\) uzyskać sumę przekraczającą 500tys. jeżeli kolejne próby można uznać za stochastycznie niezależne.
Nie wiem jak to zrobić.
Wiemy, że rozkład jest wykładniczy, więc \(\displaystyle{ EX=\frac{1}{\lambda}, Var X = \frac{1}{\lambda^2}}\)
ale to są wartości dla udanej próby, udaje się jedna na sto.
Więc \(\displaystyle{ EX_i=\frac{1}{100} \cdot 10^4 = 10^2}\), gdzie \(\displaystyle{ X_i}\) to próba włamania, a wtedy \(\displaystyle{ Var X_i=10^4}\). Zatem
\(\displaystyle{ P(\sum_1^n X_i \ge 500 000) \ge 0,9 \rightarrow 1-P(\sum_1^n X_i < 500 000) \ge 0,9 \rightarrow \\ P\left(\frac{\sum_1^n X_i - n\cdot 10^2}{\sqrt{n\cdot 10^4}}<\frac{500 000 - 10^2n}{\sqrt{n10^4}}\right) \le 0,1}\)
Zatem \(\displaystyle{ \Phi\left(\frac{500 000 - 10^2n}{\sqrt{n10^4}}\right) \le 0,1}\)
Teraz sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ n}\) to jest spełnione?
Problem mam z tym, że na tablicy mam wartości od \(\displaystyle{ 0,5}\) do \(\displaystyle{ 0,99997}\).
Czy może jednak jakoś inaczej?