Kule - biała i czarna

[kasiakasia111]

Hej,
czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązaniu poniższego zadania ?

1. W pierwszej urnie są dwie kule - biała i czarna. Losujemy po jednej kuli, przy czym przy każdym wylosowaniu kuli czarnej zwracamy ja do urny. Po każdym wylosowaniu kuli białej zwracamy ją do urny dodając jednocześnie dwie białe kule. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pierwszych 50 losowaniach nie wylosujemy kuli czarnej.

Będę wdzięczna za pomoc!

[kerajs]

\(\displaystyle{ P(50 \ bialych) =\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1+2 \cdot 49}{2+49 \cdot 2} = \frac{99!!}{100!!} = \frac{100!}{2 ^{100} \cdot (50!)^2 }}\)

EDIT:
\(\displaystyle{ P(50 \ bialych) =\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{1+2 \cdot 49}{2+49 \cdot 2} =\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot ... \cdot \frac{99}{100 }= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot .... \cdot 99}{2\cdot 4 \cdot 6 \cdot .... \cdot 100}=...}\)

Podwójna silnia to iloczyn co drugiej liczby naturalnej dodatniej aż do liczby pod silnią
\(\displaystyle{ 99!!=1 \cdot 3 \cdot ... \cdot 99\\
100!!=2 \cdot 4 \cdot ... \cdot 100}\)

Jeżeli nie chcesz ich mieć w zapisie, to wynikiem jest ułamek z iloczynem lub jego uproszczenie
\(\displaystyle{ =\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot .... \cdot 99}{2\cdot 4 \cdot 6 \cdot .... \cdot 100}=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot .... \cdot 99}{2\cdot 4 \cdot 6 \cdot .... \cdot 100}\ \cdot \ \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot .... \cdot 100}{2\cdot 4 \cdot 6 \cdot .... \cdot 100}=\frac{100!}{(2\cdot 4 \cdot 6 \cdot .... \cdot 100)^2}=\\ =\frac{100!}{(( 2\cdot 1)(2\cdot 2)(2 \cdot 3) \cdot .... \cdot (2 \cdot 50))^2} = \frac{100!}{(2 ^{50} \cdot 50!)^2 }=\frac{100!}{2 ^{100} \cdot (50!)^2 }}\)

[kasiakasia111]

Dziękuję, ale nie bardzo rozumiem drugiej części po wielokropku.
Czy można poprosić o wytłumaczenie ?

[docze]

Uważam, że
*\(\displaystyle{ 2 \cdot 49}\) - liczba dodanych białych kul do urny
* w liczniku dodajesz 1 ponieważ chcesz wylosować tylko kule białą, a na początku losowania była 1 kula.
* w mianowniku dodajesz 2 ponieważ na początku losowania w urnie była 1 kula czarna i 1 biała.