Wartość oczekiwana zmiennej losowej

[wtrojanko]

Więc, zadanie brzmi: wartość oczekiwana zmiennej losowej o gęstości \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}}\) wynosi:
A. 1
B. 0
C. ln2
D. nie istnieje

Zatem: \(\displaystyle{ EX=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\pi(1+x^2)}dx= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(1+x^2)}dx}\)

Teraz podstawienie: \(\displaystyle{ \substack{1+x^2=t \\ 2xdx=dt}}\)

I mam: \(\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{t}dt=\left [ \frac{ln|t|}{2\pi} \right ]_{-\infty}^{\infty}=\left [ \frac{ln|1+x^2|}{2\pi} \right ]_{-\infty}^{\infty} = \frac{1}{2\pi} [ ln|\infty| - ln|-\infty| ] = \frac{ln(\infty)-ln(\infty)}{2\pi}}\)

Otrzymuję symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \infty-\infty}\) który przekształcam do postaci \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) i korzystam z reguły de l'Hopitala. Więc:

\(\displaystyle{ \frac{ln(\infty)-ln(\infty)}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\left( \frac{\frac{1}{ln\infty}-\frac{1}{ln\infty}}{\frac{1}{2ln\infty}} \right)\xrightarrow{H}\frac{1}{2\pi}\left( \frac{\left(\frac{1}{ln(1+x^2)}\right)'-\left(\frac{1}{ln(1+x^2)}\right)'}{\left(\frac{1}{2ln(1+x^2)}\right)'}}\right ) = \frac{1}{2\pi} \left( \left( \frac{2x}{1+x^2}-\frac{2x}{1+x^2} \right) \frac{2(1+x^2)}{2x}\right)=\frac{1}{2\pi}(1-1)2=0}\)

Prawidłowa zatem jest odpowiedź B. Czy moje rozumowanie jest poprawne? Z góry dzięki za wszelkie wskazówki

[Premislav]

Twoja odpowiedź jest błędna, ta wartość oczekiwana nie istnieje, bo całka jest rozbieżna. To, co policzyłeś (stosując koślawy i nieformalny zapis) to jest wartość główna tej całki.
Co więcej, do istnienia wartości oczekiwanej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) wymaga się, by \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|}\) miała skończoną wartość.

Poza tym pisanie \(\displaystyle{ \ln(\infty)}\) to coś, co od razu skreśla rozwiązanie, niezależnie od reszty (ale tu patrz: uwaga na temat zapisu).

[kerajs]

\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(1+x^2)}dx=}\)

\(\displaystyle{ =0}\)
bo całkowana jest funkcja nieparzysta.

\(\displaystyle{ ...= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{(1+x^2)}dx}\)

Teraz podstawienie: \(\displaystyle{ \substack{1+x^2=t \\ 2xdx=dt}}\)

I mam: \(\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{t}dt=...}\)

nieprawidłowo określone są nowe granice całkowania względem t.

[wtrojanko]

Po zmianie granic całkowania: \(\displaystyle{ \frac{1}{2\pi}\int_{\infty}^{\infty}\frac{1}{t}dt=0}\)?

[Premislav]

kerajs, niestety się mylisz, z tego, że funkcja podcałkowa jest nieparzysta, wynika jedynie iż
\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty } \int_{-t}^{t} g(x) \ \dd x=0}\) (\(\displaystyle{ g}\) to funkcja podcałkowa oczywiście) - tj. wartość główna tej całki wynosi zero. Ale to nie oznacza, że całka niewłaściwa jest zbieżna.
wtrojanko, nie możesz wykonać takiego podstawienia, jak piszesz, ponieważ \(\displaystyle{ f(x)=1+x^2}\) nie jest różnowartościowa w zbiorze \(\displaystyle{ \RR.}\) Za pomocą tego podstawienia możesz policzyć całkę nieoznaczoną.

[kerajs]

kerajs, niestety się mylisz, z tego, że funkcja podcałkowa jest nieparzysta, wynika jedynie iż
\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty } \int_{-t}^{t} g(x) \ \dd x=0}\) (\(\displaystyle{ g}\) to funkcja podcałkowa oczywiście)

I dokładnie tylko to napisałem jako uzupełnienie (a nie kontra) Twojego postu, a co moim zdaniem powinno także znaleźć się w rozwiązaniu:
Całka istnieje bo wynosi 0 (co pokazałem) , ale nie spełnia warunku \(\displaystyle{ E(\left| X\right| )< \infty}\) (co Ty napisałeś wcześniej)


Ponadto wskazałem na błędne przekształcenie zastosowane przez autora tematu, choć tam ostateczny wynik przypadkowo okazał się być prawidłowym.