Problem z dystrybuantą

[blade]

\(\displaystyle{ U_1, U_2}\) niezależne zmienne losowe o rozkładach jednostajnych \(\displaystyle{ U(0,1)}\). Niech \(\displaystyle{ X=\min (U_1,U_2), Y=\max (U_1,U_2)}\). Oblczyć współczynnik korelacji zmiennych \(\displaystyle{ X,Y}\).

Wszystko mi wychodzi do czasu, gdy muszę policzyć :

\(\displaystyle{ F_{XY}(x,y) = P(X \le x \wedge Y \le y) = P\left( (U_1 \le x \vee U_2 \le x) \wedge (U_1 \le y \wedge U_2 \le y) \right)}\)

Po prostu nie wiem co dalej. Proszę o pomoc

[sebnorth]

liczyłem to do końca i mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{-5}{18}}\)

a to powyżej można tak: z własności min i max mamy:

\(\displaystyle{ X > x \Leftrightarrow U_1 > x, U_2>x}\)

\(\displaystyle{ Y \leq y \Leftrightarrow U_1 \leq y, U_2 \leq y}\)

\(\displaystyle{ P(Y \leq y)}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ P(X \leq x, Y \leq y) + P(X > x, Y \leq y)}\)

\(\displaystyle{ P(X \leq x, Y \leq y) = P(Y \leq y) - P(X > x, Y \leq y)}\)

ostatnie wyrażenie przekształcamy:

\(\displaystyle{ P(X > x, Y \leq y) = P(U_1>x,U_2>x, U_1\leq y, U_2 \leq y) =}\)

\(\displaystyle{ = P(x < U_1 < y, x < U_2 \leq y) =}\)

\(\displaystyle{ = P(x < U_1 < y) \cdot P( x < U_2 \leq y)}\)

[blade]

\(\displaystyle{ =(F_{U_1}(y) - F_{U_1}(x))\cdot(F_{U_2}(y) - F_{U_2}(x)) = (y-x)^2 = y^2-2xy+x^2}\)

to Trzeba odjąc jeszcze od wyrażenia

\(\displaystyle{ P(U_1\le y \wedge U_2 \le y) = P(U_1\le y) \cdot P(U_1\le y)= F_{U_1}(y)\cdotF_{U_1}(y)=y\cdot y=y^2}\)

Ostatecznie otrzymamy :

\(\displaystyle{ 2xy-x^2}\)

Teraz licząc gęstość mamy :

\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{d^2F_{XY}(XY)}{dxdy} = 2}\)

Możemy policzyć wartość oczekiwaną

\(\displaystyle{ EXY=\int_0^1 \int_0^y 2xydxdy = \int_0^1 \left[x^2y\right]_0^y dy = \int_0^1 = y^3dy = \left[\frac{y^3}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ EX=\frac{1}{3},EY=\frac{2}{3}}\)
i tak dalej..

Mam jeszcze jedno pytanko, bo przykładowo : \(\displaystyle{ EX^2}\) liczymy \(\displaystyle{ \int_0^1 x^2f(x)dx}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ x^2}\).

Ale widziałem też przykłady zadań, kiedy to \(\displaystyle{ EX=\lambda}\), a bez liczenia \(\displaystyle{ EX^2=\lambda^2 + \lambda}\), kiedy tak jest? W przypadku rozkładu Poissona?
Dzięki wielke za pomoc. -- 8 wrz 2016, o 11:59 --PS: jak policzyć \(\displaystyle{ EX^2}\) gdy nie mamy gęstości?

[sebnorth]

\(\displaystyle{ EX^2}\) można liczyć bez gęstości ze wzoru \(\displaystyle{ EX^2 = D^2X + (EX)^2}\)

jaki pisałem: 'liczyłem to do końca i mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{-5}{18}}\)' miałem na myśli tylko kowariancję

[blade]

Tak, z tym zadaniem nie miałem już problemu do końca, ale pytałem bardziej ogólnie.

Gdybym miał dane \(\displaystyle{ EX=1, EY=2, EXY =3, Var X =1, Var Y=2}\)
to gdybym chciał policzyć dla \(\displaystyle{ Z=Y-2X}\), to \(\displaystyle{ EZ = EY - 2EX = 0}\), a jak policzyć \(\displaystyle{ Var Z}\)?

Do tego potrzebuję \(\displaystyle{ E^2Z}\), więc jak tutaj policzyć?-- 8 wrz 2016, o 14:00 --co do kowariancji mi wyszło \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[sebnorth]

\(\displaystyle{ Var Z = Var Y + 4 Var X - 4 Cov (X, Y)}\)

skorzystałem ze wzorów:

\(\displaystyle{ Var (A+B) = Var A + Var B + 2 Cov (A,B)}\)
\(\displaystyle{ Cov (A,B) = Cov (B, A)}\)
\(\displaystyle{ Cov (cA,B) = Cov (A,cB) = c Cov (A,B)}\)
\(\displaystyle{ Var cA = c^2 Var A}\)

poza tym \(\displaystyle{ Cov (X, Y) = E(XY) - EX EY}\)

[blade]

dzięki wielkie!