Czy zachodzi nierówność ?

[matinf]

Cześć,
\(\displaystyle{ X,Y}\) to niezależne zmienne. Czy zachodzi taka nierówność ? Staram się pokazać, że tak, ale nie jestem przekonany czy na pewno nie błądzę.

\(\displaystyle{ E(X^2Y^2) = EX^2 \cdot EY^2 = (Var X + (EX)^2)(Var Y + (EY)^2)\ge (EX)^2(EY)^2}\).
To zachodzi bo wariancje są nieujemne. Ok ?

[Premislav]

Jest to prawdą, a najkrócej się to uzasadnia, pisząc, że \(\displaystyle{ f(t)=t^2}\) jest wypukła
i stosując nierówność Jensena. No i też korzystamy z niezależności.
A tak jak Ty napisałeś też oczywiście można. Wariancja jest zawsze nieujemna, no i w związku z tym masz nierówności \(\displaystyle{ Var X+(\mathbf{E}X)^2 \ge (\mathbf{E}X)^2}\) i drugą podobną.

[matinf]

A teraz druga relacja, chcę pokazać, że nie zachodzi:

\(\displaystyle{ E(XY)...EXEY}\).
Jeśli \(\displaystyle{ X=Y}\) to mamy, że \(\displaystyle{ EX^2 \ge (EX)^2}\) - to zachodzi, bo wariancja jest nieujemna. Żeby teraz pokazać, że nie można określić jednoznacznie relacji weźmy:

Losujemy liczbę jedną z zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\)
\(\displaystyle{ X}\) - wylosowano liczbę parzystą (zmienne, które przypisują \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) - Bernoulliego)
\(\displaystyle{ Y}\) - wylosowano liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ E(X)E(Y) = (1/3)(1/3)=1/6 > 0 = E(XY) = Pr(XY=1)\cdot 1 = Pr(X=1\wedge Y=1)}\)

Czy jest ok ? Tzn czy nie pomyliłem się w przykładzie.