zbieżność prawie na pewno ciągu

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
gienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 243 razy

zbieżność prawie na pewno ciągu

Post autor: gienia »

\(\displaystyle{ (X_n)}\) ciąg niezależnych zmiennych losowych taki, że \(\displaystyle{ X_n}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{n^p}}\), \(\displaystyle{ p>0}\).
Zbadać zbieżność tego ciągu do zera z prawdopodobieństwem 1.

Mam tak:
\(\displaystyle{ P(\sup_{k \ge n} |X_k|>\epsilon)=1-P(\sup_{k \ge n} |X_k| \le \epsilon)=1- \prod_{k=n}^{ \infty } P(X_k=0)=1-e^{- \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}} = \begin{cases} 1, p \le 1 \\ 0, p>1 \end{cases}}\).

Czyli że zbieżny dla \(\displaystyle{ p>1}\).

Tylko nie rozumiem, jak tam wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ p>1}\).
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

zbieżność prawie na pewno ciągu

Post autor: Kartezjusz »

Suma w wykładniku jest nieskończona, czyli \(\displaystyle{ e^{- \infty } =0}\)
gienia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 25 lip 2014, o 16:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 243 razy

zbieżność prawie na pewno ciągu

Post autor: gienia »

To to wiem, chodzi mi o \(\displaystyle{ p>1}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

zbieżność prawie na pewno ciągu

Post autor: Premislav »

Tu coś jest nie tak: przecież to oczywiste, że dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego nie mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p} =0}\), a więc też dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego nie będzie
\(\displaystyle{ 1-e^{- \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}=0}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ p>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p} =0}\), bo \(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}\) jest wówczas ogonem szeregu zbieżnego, a stąd także
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 1-e^{- \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}=0}\)

Czyli dostajesz, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i \(\displaystyle{ p>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbf{P}(\sup_{k \ge n} |X_k|>\epsilon)=0}\)
ODPOWIEDZ