\(\displaystyle{ (X_n)}\) ciąg niezależnych zmiennych losowych taki, że \(\displaystyle{ X_n}\) ma rozkład Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{n^p}}\), \(\displaystyle{ p>0}\).
Zbadać zbieżność tego ciągu do zera z prawdopodobieństwem 1.
Mam tak:
\(\displaystyle{ P(\sup_{k \ge n} |X_k|>\epsilon)=1-P(\sup_{k \ge n} |X_k| \le \epsilon)=1- \prod_{k=n}^{ \infty } P(X_k=0)=1-e^{- \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}} = \begin{cases} 1, p \le 1 \\ 0, p>1 \end{cases}}\).
Czyli że zbieżny dla \(\displaystyle{ p>1}\).
Tylko nie rozumiem, jak tam wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ p>1}\).
zbieżność prawie na pewno ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
zbieżność prawie na pewno ciągu
Suma w wykładniku jest nieskończona, czyli \(\displaystyle{ e^{- \infty } =0}\)
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
zbieżność prawie na pewno ciągu
Tu coś jest nie tak: przecież to oczywiste, że dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego nie mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p} =0}\), a więc też dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego nie będzie
\(\displaystyle{ 1-e^{- \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}=0}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ p>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p} =0}\), bo \(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}\) jest wówczas ogonem szeregu zbieżnego, a stąd także
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 1-e^{- \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}=0}\)
Czyli dostajesz, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i \(\displaystyle{ p>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbf{P}(\sup_{k \ge n} |X_k|>\epsilon)=0}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p} =0}\), a więc też dla żadnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego nie będzie
\(\displaystyle{ 1-e^{- \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}=0}\)
Natomiast dla \(\displaystyle{ p>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p} =0}\), bo \(\displaystyle{ \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}\) jest wówczas ogonem szeregu zbieżnego, a stąd także
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } 1-e^{- \sum_{k=n}^{ \infty } \frac{1}{k^p}}=0}\)
Czyli dostajesz, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i \(\displaystyle{ p>1}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbf{P}(\sup_{k \ge n} |X_k|>\epsilon)=0}\)