Prawdopodobieństwo odpowiedzi na co najmniej 4 z 5 pytań!

[Minerwa7]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:

Przed konkursem ogłoszono listę 200 pytań z dziedziny A, 100 pytań z dziedziny B i 100 pytań z dziedziny C. Kandydat potrafi odpowiedzieć na 150 pytań z dziedziny A, wszystkie z dziedziny B oraz 80 pytań z dziedziny C. Jakie jest prawdopodobieństwo, że podczas konkursu kandydat odpowie na co najmniej 4 z 5 pytań?

[miodzio1988]

Gdzie tam jest problem? Policz najpierw pstwo, że odpowie na pytanie w ogóle

[Minerwa7]

Problem jest z tym jak sprawnie policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że odpowie na wszystkie \(\displaystyle{ 5}\) pytań lub na \(\displaystyle{ 4}\) pytania z \(\displaystyle{ 5}\).

Przez \(\displaystyle{ A}\) oznaczymy zdarzenie, że zadane pytanie pochodzi z dziedziny A , przez \(\displaystyle{ B}\) zdarzenie, że pytanie pochodzi z dziedziny B, natomiast przez \(\displaystyle{ C}\) zdarzenie, że pytanie pochodzi z dziedziny C.
\(\displaystyle{ D}\) to zdarzenie, w którym uczestnik poprawnie odpowie na wylosowane pytanie to:

\(\displaystyle{ P(D)=P(D | A) \cdot P(A)+P(D | B) \cdot P(B)+P(D | C) \cdot P(C)=\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}+1 \cdot \frac{1}{4}+ \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4}= \frac{33}{40}}\)

I co dalej?

[miodzio1988]

rozklad dwumianowy

[kerajs]

rozklad dwumianowy

Chyba nie, prawdaż?


Inaczej:
O ile pytania A,B,C trafiają do jednej puli (czyli można wylosować 5 pytań A , albo 5 pytań C) to na 400 pytań zdający zna 330 odpowiedzi
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|= {400 \choose 5}}\)
\(\displaystyle{ I_1}\) - zdający wylosował \(\displaystyle{ 4}\) pytania na które zna odpowiedź, i jedno na które odpowiedzi nie zna
\(\displaystyle{ I_2}\) - zdający wylosował \(\displaystyle{ 5}\) pytań na które zna odpowiedź.
\(\displaystyle{ \left| I_1\right|= {330 \choose 4} {70 \choose 1}}\)
\(\displaystyle{ \left| I_2\right|= .....\\
P(I)=..........}\)

[Minerwa7]

Czyli do policzenia tego prawdopodobieństwa można użyć rozkładu hipergeometrycznego?

[kerajs]

O ile pytania A,B,C trafiają do jednej puli (czyli można wylosować 5 pytań A , albo 5 pytań C)

to jest to proste zadanie licealne.
\(\displaystyle{ P(I)= \frac{\left| I_1\right|+\left| I_2\right|}{\left| \Omega\right|}= \frac{{330 \choose 4} {70 \choose 1}+{330 \choose 5}}{{400 \choose 5}}}\)

Możesz też zrobić zwykle drzewko :
\(\displaystyle{ P(I)= \frac{330 \cdot 329 \cdot 328 \cdot 327(70 \cdot5+326 )}{400 \cdot 399 \cdot 398 \cdot 397 \cdot 396}}\)