Obliczyć EZ mając dystrybuantę wektora (X, Y)

[Michauuuuuu]

Dystrybuantą wektora losowego \(\displaystyle{ (X, Y)}\) jest funkcja:
\(\displaystyle{ F(x, y)=\left\{\begin{matrix}
0 & x<0\textup{ lub }y<0,\\
x^2 & 0\leqslant x<1\textup{ i }y\geq x,\\
y^2 & 0\leqslant y<1\textup{ i }y<x,\\
1 & x\geq 1\textup{ i }y\geq 1
\end{matrix}\right.}\)
Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ 1/(X^2+1)}\)

Czy obliczenie dystrybuanty brzegowej X, zróżniczkowanie by otrzymać gęstość zm. X, stworzenie dystrybuanty 1/(X^2+1), zróżniczkowanie i obliczenie całki zf(z) jest właściwą drogą?

[Igor V]

Właściwie to wystarczy że policzysz gęstość \(\displaystyle{ f_X}\), bo \(\displaystyle{ E\left( \frac{1}{X^2+1} \right) = \int_{\RR}\frac{1}{x^2+1} \cdot f_X(x) \mbox{d}x}\)

[Michauuuuuu]

Dzięki Igor, ciekawe.
Proszę o potwierdzenie, że w przypadkach gdy Z jest funkcją zależną od x (\(\displaystyle{ Z=f(x)}\)), to \(\displaystyle{ EZ=\int z f_Z{(z)} dz=\int z f_X{(z)} dz}\)

[Igor V]

\(\displaystyle{ EZ=\int_{\RR} z f_Z{(z)} \mbox{d}z = \int_{\RR} f(z) f_X{(z)} \mbox{d}z}\), gdzie \(\displaystyle{ f(z) := f(x)}\) jest funkcją mierzalną (większość "klasycznych" funkcji)