Cześć,
Mamy dwie nieujemne zmienne \(\displaystyle{ X, Y \ge 0}\).
Chcemy sprawdzić dwie relacje: (czy jest między nimi jakaś nierówność)
b. \(\displaystyle{ Var(\min(X,Y))... \min(Var(X), Var(Y))}\)
c. \(\displaystyle{ E(\min(X,Y))...\min(EX, EY)}\)
Z c. sobie potrafię poradzić, sami zobaczcie:
c. Niech \(\displaystyle{ Z=\min(X,Y)}\). Możemy powiedzieć, że
\(\displaystyle{ \forall_{\omega\in\Omega}Pr(\omega) X(\omega)\ge Pr(\omega)Z(\omega)}\) oraz \(\displaystyle{ \forall_{\omega\in\Omega}Pr(\omega) Y(\omega)\ge Pr(\omega)Z(\omega)}\)
Oczywiście zakłądamy tutaj, że \(\displaystyle{ Y}\) and \(\displaystyle{ X}\) mają ten sam rozkład pstwa.
Zatem \(\displaystyle{ EX \ge EZ}\) oraz \(\displaystyle{ EY\ge EZ}\).
Stąd \(\displaystyle{ E(\min(X,Y))\le \min(EX, EY)}\)
jak z b. sobie poradzić nie mam bladego pojęcia.