Wzór na wariancję - dlaczego takie coś zachodzi?

[matinf]

Cześć,
\(\displaystyle{ Var(X+Y) - Var X - Var Y = 0}\)
Dlaczego to zachodzi ?
Zobaczcie, gdzie robię błąd ?

\(\displaystyle{ Var(X+Y) = E(X+Y)^2 - (E(X+Y))^2 = E(X^2 + 2XY+Y^2) - (EX + EY)^2=EX^2 + 2EXY + EY^2 - E^2X - E^2Y - 2EXY=EX^2 + EY^2-E^2X-E^2Y}\)
\(\displaystyle{ VarX=EX^2 - E^2X}\)
\(\displaystyle{ VarY=EY^2 - E^2Y}\)
Teraz widać, że:
\(\displaystyle{ Var(X+Y) - Var X - Var Y = 0}\)
Ale to nie powinno zachodzić dla dowolnych zmiennych (zachodzi tylko dla niezależnych parami). Co jest grane ?

[Premislav]

Gdy zmienne nie są niezależne, to jednak bywa, że
\(\displaystyle{ \mathbf{E}X \mathbf{E}Y\neq \mathbf{E}[XY]}\),
a z tego korzystasz.
(tj. z równości)

[matinf]

W którym miejscu ?

-- 25 sie 2016, o 19:00 --

Ok, widzę.

-- 25 sie 2016, o 19:14 --

Czyli wynikiem jest to co się nie poredukuje:
\(\displaystyle{ 2E(XY) - 2EXEY}\)
Teraz dołożę założenie, że obie zmienne są nieujemne chcę rozważyć czy zachodzi nierówność (w którąś ze stron, na razie tylko stawiam obojętną):
\(\displaystyle{ 2E(XY) - 2EXEY\le E(XY) - (EX)(EY)}\)
\(\displaystyle{ E(XY)\le (EX)(EY)}\)

Myślę, że ta nierówność nie zachodzi - jednak w drugą stronę też nie. Tzn nie wiadomo jaka jest relacja. Co Wy na to ?

[Premislav]

\(\displaystyle{ E(XY)\le (EX)(EY)}\)

ta nierówność na pewno nie jest prawdziwa w ogólności. Nierówność z przeciwnym zwrotem także nie.
Nie chce mi się podawać kontrprzykładów, ale nie powinny być trudne do wymyślenia.

[matinf]

Właśnie mi nie idą te kontrprzykłady.

[Santiago A]

\(\displaystyle{ \mathbb E[XY] \le \mathbb E[X] \mathbb E[Y]}\) jest nieprawdziwa: weź \(\displaystyle{ X}\) z rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ [-1, 1]}\) i \(\displaystyle{ Y = X}\). W drugą stronę: \(\displaystyle{ Y = -X}\).

[matinf]

Dobra Santiago, sprawdź czy właściwie Ciebie zrozumiałem:
\(\displaystyle{ X}\) przyjmuje wartośći \(\displaystyle{ -1,0,1}\), każdą z pstwem \(\displaystyle{ 1/3}\) - jak widzisz posługuję się zmiennymi dyskretnymi. Wówczas
\(\displaystyle{ EX=\frac13(-1+0+1)=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ EX EY = 0}\). Natomiast:
\(\displaystyle{ E(XY)=E(XX)=\frac{1}{3}((-1)(-1) + (0)(0) + (1)(1)) = \frac23}\)
Czyli, że \(\displaystyle{ E(XY) > EXEY}\) więc nie może zachodzić \(\displaystyle{ E(XY)\le EXEY}\) tak jak mówiłeś.

W drugą stronę teraz:
\(\displaystyle{ EX\cdot EY= EX\cdot E(-X) = \frac13 0 = 0}\)
\(\displaystyle{ E(XY) = E(X(-X))=E(-X^2) = -E(X^2) = -\frac{2}{3}}\)
Miałeś rację

Dlaczego nie mogłem znaleźć kontrprzykładu - nie było dla mnie jasne, co oznacza \(\displaystyle{ X\cdot Y}\). Czyżby, żeby miało sens zapisanie czegoś takiego to obie zmienne muszą mieć idealnie ten sam rozkład pstwa ?-- 25 sie 2016, o 22:49 --Jednak się pomyliłeś, wziąłeś zmienne ujemne. A na początku napisałem, że mają być nieujemne.