Mediana w pewnym przedziale

[elbargetni]

Pobieramy 8 niezależnych realizacji zmiennej losowej o ciągłym rozkładzie. Po uporządkowaniu zaobserwowanych wartości w ciąg rosnący \(\displaystyle{ \left\{ z_1, z_2, .., z_8 \right\}}\) tworzymy przedział \(\displaystyle{ \left( z_2,z_7 \right)}\). Z jakim prawdopodobieństwem przedział ten pokrywa wartość mediany rozkładu badanej zmiennej losowej.

Wiem, że odpowiedzią jest wyrażenie:

\(\displaystyle{ \sum_{i=2}^{8}{ {8 \choose i} \left( \frac{1}{2} \right) ^i \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{8-i} - \sum_{i=7}^{8}{ {8 \choose i} \left( \frac{1}{2} \right) ^i \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{8-i}}\)

Ale nie mogę zrozumieć dlaczego.
Mógłby ktoś wyjaśnić jak rozwiązać tego typu zadanie.

[SlotaWoj]

Jeżeli o rozkładzie zmiennej losowej wiadomo tylko, że jest ciągły, a nie wiadomo jaki, to nie ma sensu mówić o jego medianie. Można natomiast mówić o medianie szeregu uporządkowanego \(\displaystyle{ \{z_1,z_2,...,z_8\}}\) i prawdopodobieństwo tego, że przedział \(\displaystyle{ \left(z_2,z_7\right)}\) pokryje tę medianę jest równe 1.

[elbargetni]

Jest to jakiś nieznany rozkład.
Zadanie pochodzi z egzaminu aktuarialnego z Prawdopodobieństwa i Statystyki z 05.10.1996 r. (zad. 3)

[SlotaWoj]

Gdy losujemy n-elementową próbkę z populacji, to prawdopodobieństwo tego, że będzie ona obejmowała wartość oczekiwaną rozkładu, czy też jakąkolwiek inną miarę jego położenia \(\displaystyle{ \rightarrow 1}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) i to niezależnie jaki jest to rozkład.
Gdy \(\displaystyle{ n=8}\), to o prawdopodobieństwie można mówić jedynie wówczas, gdy wiadomo jaki jest to rozkład i jakie są jego parametry (te można ew. estymować na podstawie próbki).

Zadania zredagowanego w podany przez Ciebie sposób (nie pomyliłeś się - ściągnąłem oba PDFy) nie można rozwiązać.

Zastanawiam się, czy nie można byłoby rozwiązać zadania inaczej zredagowanego:

• Pobieramy 8 niezależnych realizacji jednowymiarowej zmiennej losowej o nieznanym, ale ciągłym rozkładzie. Po uporządkowaniu zaobserwowanych wartości w ciąg rosnący \(\displaystyle{ \{z_1,z_2,...,z_8 \}}\) wiemy, że wartość mediany rozkładu mieści się w przedziale \(\displaystyle{ \left(z_1,z_8\right)}\). Tworzymy przedział \(\displaystyle{ \left(z_2,z_7\right)}\). Z jakim prawdopodobieństwem przedział ten zawiera wartość mediany rozkładu badanej zmiennej losowej.

Ponieważ podana odpowiedź ma związek z rozkładem dwumiennym, uważam że temat zadania powinien być zredagowany zupełnie inaczej. Jak? - tego na razie nie wiem.

[12020569]

Nie musimy wiedzieć gdzie znajduje się mediana, żeby obliczyć to prawdopodobieństwo, ponieważ szanse na to, że losowo wybrana wartość będzie mniejsza lub większa od mediany wynoszą po 50%. Jeśli więc przyjmiemy za sukces jeżeli losowo wybrana wartość będzie mniejsza od mediany, a za porażkę zdarzenie przeciwne to szukane prawdopodobieństwo jest szansą na otrzymanie co najmniej dwóch i co najwyżej sześciu sukcesów w ośmiu próbach czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2^8} \left( {8\choose 2} + {8\choose 3} + {8\choose 4} + {8\choose 5} + {8\choose 6} \right) = \frac{119}{128}}\)